Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53927 / 23149
↖ ↑ ↗
← N 46.630579°
E116.229859°		 ← 419.43 m → N 46.630579°
E116.235351°		 →
↑
419.47 m
↓
↑
419.47 m
↓
N 46.626806°
E116.229859°		 ← 419.46 m →
175 942 m²		 N 46.626806°
E116.235351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822868347167969 y=0.353233337402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822868347167969 × 216)
    floor (0.822868347167969 × 65536)
    floor (53927.5)     		tx = 53927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353233337402344 × 216)
    floor (0.353233337402344 × 65536)
    floor (23149.5)     		ty = 23149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53927 / 23149 ti = "16/53927/23149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53927/23149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53927 ÷ 216
    53927 ÷ 65536     		x = 0.822860717773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23149 ÷ 216
    23149 ÷ 65536     		y = 0.353225708007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822860717773438 × 2 - 1) × π
    0.645721435546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02859372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353225708007812 × 2 - 1) × π
    0.293548583984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.92221007489064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02859372} λ = 2.02859372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.92221007489064))-π/2
    2×atan(2.51484224236544)-π/2
    2×1.19232672843172-π/2
    2.38465345686345-1.57079632675     		φ = 0.81385713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02859372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.229859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81385713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.630579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53927 KachelY 23149 2.02859372 0.81385713 116.229859 46.630579
    Oben rechts KachelX + 1 53928 KachelY 23149 2.02868959 0.81385713 116.235351 46.630579
    Unten links KachelX 53927 KachelY + 1 23150 2.02859372 0.81379129 116.229859 46.626806
    Unten rechts KachelX + 1 53928 KachelY + 1 23150 2.02868959 0.81379129 116.235351 46.626806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81385713-0.81379129) × R
    6.58400000000947e-05 × 6371000     		dl = 419.466640000603m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81385713-0.81379129) × R
    6.58400000000947e-05 × 6371000     		dr = 419.466640000603m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02859372-2.02868959) × cos(0.81385713) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.686699641106473 × 6371000     		do = 419.427742451214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02859372-2.02868959) × cos(0.81379129) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.686747501430944 × 6371000     		du = 419.456974952069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81385713)-sin(0.81379129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686699641106473-0.686747501430944)×R²
    abs(2.02868959-2.02859372)×4.78603244705722e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78603244705722e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78603244705722e-05×40589641000000     		ar = 175942.076941999m²