Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53927 / 20857
↖ ↑ ↗
← N 54.594345°
E116.229859°		 ← 353.87 m → N 54.594345°
E116.235351°		 →
↑
353.91 m
↓
↑
353.91 m
↓
N 54.591163°
E116.229859°		 ← 353.89 m →
125 242 m²		 N 54.591163°
E116.235351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822868347167969 y=0.318260192871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822868347167969 × 216)
    floor (0.822868347167969 × 65536)
    floor (53927.5)     		tx = 53927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318260192871094 × 216)
    floor (0.318260192871094 × 65536)
    floor (20857.5)     		ty = 20857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53927 / 20857 ti = "16/53927/20857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53927/20857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53927 ÷ 216
    53927 ÷ 65536     		x = 0.822860717773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20857 ÷ 216
    20857 ÷ 65536     		y = 0.318252563476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822860717773438 × 2 - 1) × π
    0.645721435546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02859372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318252563476562 × 2 - 1) × π
    0.363494873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.14195282274898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02859372} λ = 2.02859372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14195282274898))-π/2
    2×atan(3.13288035545495)-π/2
    2×1.26182370390789-π/2
    2.52364740781577-1.57079632675     		φ = 0.95285108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02859372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.229859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95285108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.594345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53927 KachelY 20857 2.02859372 0.95285108 116.229859 54.594345
    Oben rechts KachelX + 1 53928 KachelY 20857 2.02868959 0.95285108 116.235351 54.594345
    Unten links KachelX 53927 KachelY + 1 20858 2.02859372 0.95279553 116.229859 54.591163
    Unten rechts KachelX + 1 53928 KachelY + 1 20858 2.02868959 0.95279553 116.235351 54.591163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95285108-0.95279553) × R
    5.55500000000153e-05 × 6371000     		dl = 353.909050000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95285108-0.95279553) × R
    5.55500000000153e-05 × 6371000     		dr = 353.909050000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02859372-2.02868959) × cos(0.95285108) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.579361615778761 × 6371000     		do = 353.866989325098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02859372-2.02868959) × cos(0.95279553) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.579406892057868 × 6371000     		du = 353.894643522648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95285108)-sin(0.95279553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579361615778761-0.579406892057868)×R²
    abs(2.02868959-2.02859372)×4.52762791077754e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.52762791077754e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.52762791077754e-05×40589641000000     		ar = 125241.62358635m²