Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53927 / 15210
↖ ↑ ↗
← N 79.760679°
W 31.885071°		 ← 54.29 m → N 79.760679°
W 31.882324°		 →
↑
54.28 m
↓
↑
54.28 m
↓
N 79.760191°
W 31.885071°		 ← 54.30 m →
2 947 m²		 N 79.760191°
W 31.882324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411434173583984 y=0.116046905517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411434173583984 × 217)
    floor (0.411434173583984 × 131072)
    floor (53927.5)     		tx = 53927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116046905517578 × 217)
    floor (0.116046905517578 × 131072)
    floor (15210.5)     		ty = 15210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53927 / 15210 ti = "17/53927/15210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53927/15210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53927 ÷ 217
    53927 ÷ 131072     		x = 0.411430358886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15210 ÷ 217
    15210 ÷ 131072     		y = 0.116043090820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411430358886719 × 2 - 1) × π
    -0.177139282226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.55649947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116043090820312 × 2 - 1) × π
    0.767913818359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.41247241027895
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55649947} λ = -0.55649947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41247241027895))-π/2
    2×atan(11.1615229230173)-π/2
    2×1.48144139249138-π/2
    2.96288278498275-1.57079632675     		φ = 1.39208646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55649947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.885071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39208646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.760679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53927 KachelY 15210 -0.55649947 1.39208646 -31.885071 79.760679
    Oben rechts KachelX + 1 53928 KachelY 15210 -0.55645153 1.39208646 -31.882324 79.760679
    Unten links KachelX 53927 KachelY + 1 15211 -0.55649947 1.39207794 -31.885071 79.760191
    Unten rechts KachelX + 1 53928 KachelY + 1 15211 -0.55645153 1.39207794 -31.882324 79.760191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39208646-1.39207794) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dl = 54.2809199997218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39208646-1.39207794) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dr = 54.2809199997218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55649947--0.55645153) × cos(1.39208646) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177760135368936 × 6371000     		do = 54.2925208875218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55649947--0.55645153) × cos(1.39207794) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177768519671651 × 6371000     		du = 54.2950816693831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39208646)-sin(1.39207794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177760135368936-0.177768519671651)×R²
    abs(-0.55645153--0.55649947)×8.38430271546398e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.38430271546398e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.38430271546398e-06×40589641000000     		ar = 2947.11748359869m²