Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53927 / 11606
↖ ↑ ↗
← N 81.378597°
W 31.885071°		 ← 45.78 m → N 81.378597°
W 31.882324°		 →
↑
45.81 m
↓
↑
45.81 m
↓
N 81.378185°
W 31.885071°		 ← 45.79 m →
2 097 m²		 N 81.378185°
W 31.882324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411434173583984 y=0.0885505676269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411434173583984 × 217)
    floor (0.411434173583984 × 131072)
    floor (53927.5)     		tx = 53927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0885505676269531 × 217)
    floor (0.0885505676269531 × 131072)
    floor (11606.5)     		ty = 11606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53927 / 11606 ti = "17/53927/11606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53927/11606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53927 ÷ 217
    53927 ÷ 131072     		x = 0.411430358886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11606 ÷ 217
    11606 ÷ 131072     		y = 0.0885467529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411430358886719 × 2 - 1) × π
    -0.177139282226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.55649947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0885467529296875 × 2 - 1) × π
    0.822906494140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58523699650963
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55649947} λ = -0.55649947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58523699650963))-π/2
    2×atan(13.2664328156999)-π/2
    2×1.4955603921484-π/2
    2.99112078429679-1.57079632675     		φ = 1.42032446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55649947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.885071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42032446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.378597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53927 KachelY 11606 -0.55649947 1.42032446 -31.885071 81.378597
    Oben rechts KachelX + 1 53928 KachelY 11606 -0.55645153 1.42032446 -31.882324 81.378597
    Unten links KachelX 53927 KachelY + 1 11607 -0.55649947 1.42031727 -31.885071 81.378185
    Unten rechts KachelX + 1 53928 KachelY + 1 11607 -0.55645153 1.42031727 -31.882324 81.378185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42032446-1.42031727) × R
    7.19000000004577e-06 × 6371000     		dl = 45.8074900002916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42032446-1.42031727) × R
    7.19000000004577e-06 × 6371000     		dr = 45.8074900002916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55649947--0.55645153) × cos(1.42032446) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149904684058899 × 6371000     		do = 45.7847490581255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55649947--0.55645153) × cos(1.42031727) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149911792811281 × 6371000     		du = 45.7869202540823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42032446)-sin(1.42031727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149904684058899-0.149911792811281)×R²
    abs(-0.55645153--0.55649947)×7.10875238207898e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.10875238207898e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.10875238207898e-06×40589641000000     		ar = 2097.33416324795m²