Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53925 / 20868
↖ ↑ ↗
← N 54.559323°
E116.218872°		 ← 354.17 m → N 54.559323°
E116.224365°		 →
↑
354.23 m
↓
↑
354.23 m
↓
N 54.556137°
E116.218872°		 ← 354.20 m →
125 462 m²		 N 54.556137°
E116.224365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822837829589844 y=0.318428039550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822837829589844 × 216)
    floor (0.822837829589844 × 65536)
    floor (53925.5)     		tx = 53925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318428039550781 × 216)
    floor (0.318428039550781 × 65536)
    floor (20868.5)     		ty = 20868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53925 / 20868 ti = "16/53925/20868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53925/20868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53925 ÷ 216
    53925 ÷ 65536     		x = 0.822830200195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20868 ÷ 216
    20868 ÷ 65536     		y = 0.31842041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822830200195312 × 2 - 1) × π
    0.645660400390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02840197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31842041015625 × 2 - 1) × π
    0.3631591796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.14089821095734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02840197} λ = 2.02840197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14089821095734))-π/2
    2×atan(3.12957812448221)-π/2
    2×1.26151807179225-π/2
    2.5230361435845-1.57079632675     		φ = 0.95223982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02840197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.218872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95223982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.559323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53925 KachelY 20868 2.02840197 0.95223982 116.218872 54.559323
    Oben rechts KachelX + 1 53926 KachelY 20868 2.02849784 0.95223982 116.224365 54.559323
    Unten links KachelX 53925 KachelY + 1 20869 2.02840197 0.95218422 116.218872 54.556137
    Unten rechts KachelX + 1 53926 KachelY + 1 20869 2.02849784 0.95218422 116.224365 54.556137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95223982-0.95218422) × R
    5.55999999999335e-05 × 6371000     		dl = 354.227599999576m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95223982-0.95218422) × R
    5.55999999999335e-05 × 6371000     		dr = 354.227599999576m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02840197-2.02849784) × cos(0.95223982) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.579859727579899 × 6371000     		do = 354.171229921326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02840197-2.02849784) × cos(0.95218422) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.579905024911477 × 6371000     		du = 354.198896977467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95223982)-sin(0.95218422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579859727579899-0.579905024911477)×R²
    abs(2.02849784-2.02840197)×4.52973315775429e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.52973315775429e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.52973315775429e-05×40589641000000     		ar = 125462.125013514m²