Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53924 / 20870
↖ ↑ ↗
← N 54.552951°
E116.213379°		 ← 354.23 m → N 54.552951°
E116.218872°		 →
↑
354.23 m
↓
↑
354.23 m
↓
N 54.549766°
E116.213379°		 ← 354.25 m →
125 482 m²		 N 54.549766°
E116.218872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822822570800781 y=0.318458557128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822822570800781 × 216)
    floor (0.822822570800781 × 65536)
    floor (53924.5)     		tx = 53924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318458557128906 × 216)
    floor (0.318458557128906 × 65536)
    floor (20870.5)     		ty = 20870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53924 / 20870 ti = "16/53924/20870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53924/20870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53924 ÷ 216
    53924 ÷ 65536     		x = 0.82281494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20870 ÷ 216
    20870 ÷ 65536     		y = 0.318450927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82281494140625 × 2 - 1) × π
    0.6456298828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02830610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318450927734375 × 2 - 1) × π
    0.36309814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.14070646335886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02830610} λ = 2.02830610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14070646335886))-π/2
    2×atan(3.12897809292173)-π/2
    2×1.26146247409439-π/2
    2.52292494818877-1.57079632675     		φ = 0.95212862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02830610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.213379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95212862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.552951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53924 KachelY 20870 2.02830610 0.95212862 116.213379 54.552951
    Oben rechts KachelX + 1 53925 KachelY 20870 2.02840197 0.95212862 116.218872 54.552951
    Unten links KachelX 53924 KachelY + 1 20871 2.02830610 0.95207302 116.213379 54.549766
    Unten rechts KachelX + 1 53925 KachelY + 1 20871 2.02840197 0.95207302 116.218872 54.549766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95212862-0.95207302) × R
    5.55999999999335e-05 × 6371000     		dl = 354.227599999576m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95212862-0.95207302) × R
    5.55999999999335e-05 × 6371000     		dr = 354.227599999576m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02830610-2.02840197) × cos(0.95212862) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.579950320450359 × 6371000     		do = 354.226562938652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02830610-2.02840197) × cos(0.95207302) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.579995614196406 × 6371000     		du = 354.254227804795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95212862)-sin(0.95207302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579950320450359-0.579995614196406)×R²
    abs(2.02840197-2.02830610)×4.52937460471148e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.52937460471148e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.52937460471148e-05×40589641000000     		ar = 125481.725108019m²