Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53924 / 15211
↖ ↑ ↗
← N 79.760191°
W 31.893311°		 ← 54.30 m → N 79.760191°
W 31.890564°		 →
↑
54.34 m
↓
↑
54.34 m
↓
N 79.759702°
W 31.893311°		 ← 54.30 m →
2 951 m²		 N 79.759702°
W 31.890564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411411285400391 y=0.116054534912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411411285400391 × 217)
    floor (0.411411285400391 × 131072)
    floor (53924.5)     		tx = 53924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116054534912109 × 217)
    floor (0.116054534912109 × 131072)
    floor (15211.5)     		ty = 15211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53924 / 15211 ti = "17/53924/15211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53924/15211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53924 ÷ 217
    53924 ÷ 131072     		x = 0.411407470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15211 ÷ 217
    15211 ÷ 131072     		y = 0.116050720214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411407470703125 × 2 - 1) × π
    -0.17718505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55664328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116050720214844 × 2 - 1) × π
    0.767898559570312 × 3.1415926535     		Φ = 2.41242447337933
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55664328} λ = -0.55664328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41242447337933))-π/2
    2×atan(11.1609878870374)-π/2
    2×1.48143713175595-π/2
    2.96287426351191-1.57079632675     		φ = 1.39207794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55664328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.893311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39207794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.760191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53924 KachelY 15211 -0.55664328 1.39207794 -31.893311 79.760191
    Oben rechts KachelX + 1 53925 KachelY 15211 -0.55659534 1.39207794 -31.890564 79.760191
    Unten links KachelX 53924 KachelY + 1 15212 -0.55664328 1.39206941 -31.893311 79.759702
    Unten rechts KachelX + 1 53925 KachelY + 1 15212 -0.55659534 1.39206941 -31.890564 79.759702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39207794-1.39206941) × R
    8.53000000011761e-06 × 6371000     		dl = 54.3446300007493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39207794-1.39206941) × R
    8.53000000011761e-06 × 6371000     		dr = 54.3446300007493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55664328--0.55659534) × cos(1.39207794) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177768519671651 × 6371000     		do = 54.2950816693831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55664328--0.55659534) × cos(1.39206941) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177776913802171 × 6371000     		du = 54.2976454529086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39207794)-sin(1.39206941))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177768519671651-0.177776913802171)×R²
    abs(-0.55659534--0.55664328)×8.39413051950677e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.39413051950677e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.39413051950677e-06×40589641000000     		ar = 2950.71578808631m²