Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53923 / 23173
↖ ↑ ↗
← N 46.539971°
E116.207886°		 ← 420.17 m → N 46.539971°
E116.213379°		 →
↑
420.17 m
↓
↑
420.17 m
↓
N 46.536192°
E116.207886°		 ← 420.20 m →
176 549 m²		 N 46.536192°
E116.213379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822807312011719 y=0.353599548339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822807312011719 × 216)
    floor (0.822807312011719 × 65536)
    floor (53923.5)     		tx = 53923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353599548339844 × 216)
    floor (0.353599548339844 × 65536)
    floor (23173.5)     		ty = 23173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53923 / 23173 ti = "16/53923/23173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53923/23173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53923 ÷ 216
    53923 ÷ 65536     		x = 0.822799682617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23173 ÷ 216
    23173 ÷ 65536     		y = 0.353591918945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822799682617188 × 2 - 1) × π
    0.645599365234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02821022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353591918945312 × 2 - 1) × π
    0.292816162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.919909103708878
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02821022} λ = 2.02821022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.919909103708878))-π/2
    2×atan(2.50906231511224)-π/2
    2×1.19153602961348-π/2
    2.38307205922696-1.57079632675     		φ = 0.81227573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02821022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.207886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81227573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.539971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53923 KachelY 23173 2.02821022 0.81227573 116.207886 46.539971
    Oben rechts KachelX + 1 53924 KachelY 23173 2.02830610 0.81227573 116.213379 46.539971
    Unten links KachelX 53923 KachelY + 1 23174 2.02821022 0.81220978 116.207886 46.536192
    Unten rechts KachelX + 1 53924 KachelY + 1 23174 2.02830610 0.81220978 116.213379 46.536192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81227573-0.81220978) × R
    6.59499999999813e-05 × 6371000     		dl = 420.167449999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81227573-0.81220978) × R
    6.59499999999813e-05 × 6371000     		dr = 420.167449999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02821022-2.02830610) × cos(0.81227573) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.687848366885984 × 6371000     		do = 420.173192927611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02821022-2.02830610) × cos(0.81220978) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.687896235488408 × 6371000     		du = 420.202433534247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81227573)-sin(0.81220978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687848366885984-0.687896235488408)×R²
    abs(2.02830610-2.02821022)×4.78686024244501e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.78686024244501e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.78686024244501e-05×40589641000000     		ar = 176549.242070544m²