Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53923 / 14725
↖ ↑ ↗
← N 79.994783°
W 31.896057°		 ← 53.06 m → N 79.994783°
W 31.893311°		 →
↑
53.07 m
↓
↑
53.07 m
↓
N 79.994305°
W 31.896057°		 ← 53.07 m →
2 816 m²		 N 79.994305°
W 31.893311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411403656005859 y=0.112346649169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411403656005859 × 217)
    floor (0.411403656005859 × 131072)
    floor (53923.5)     		tx = 53923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112346649169922 × 217)
    floor (0.112346649169922 × 131072)
    floor (14725.5)     		ty = 14725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53923 / 14725 ti = "17/53923/14725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53923/14725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53923 ÷ 217
    53923 ÷ 131072     		x = 0.411399841308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14725 ÷ 217
    14725 ÷ 131072     		y = 0.112342834472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411399841308594 × 2 - 1) × π
    -0.177200317382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.55669122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112342834472656 × 2 - 1) × π
    0.775314331054688 × 3.1415926535     		Φ = 2.43572180659467
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55669122} λ = -0.55669122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43572180659467))-π/2
    2×atan(11.4240617011614)-π/2
    2×1.48348433516471-π/2
    2.96696867032942-1.57079632675     		φ = 1.39617234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55669122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.896057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39617234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.994783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53923 KachelY 14725 -0.55669122 1.39617234 -31.896057 79.994783
    Oben rechts KachelX + 1 53924 KachelY 14725 -0.55664328 1.39617234 -31.893311 79.994783
    Unten links KachelX 53923 KachelY + 1 14726 -0.55669122 1.39616401 -31.896057 79.994305
    Unten rechts KachelX + 1 53924 KachelY + 1 14726 -0.55664328 1.39616401 -31.893311 79.994305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39617234-1.39616401) × R
    8.33000000000084e-06 × 6371000     		dl = 53.0704300000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39617234-1.39616401) × R
    8.33000000000084e-06 × 6371000     		dr = 53.0704300000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55669122--0.55664328) × cos(1.39617234) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.173737855112057 × 6371000     		do = 53.0640129637008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55669122--0.55664328) × cos(1.39616401) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.173746058422858 × 6371000     		du = 53.0665184659727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39617234)-sin(1.39616401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173737855112057-0.173746058422858)×R²
    abs(-0.55664328--0.55669122)×8.20331080111925e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.20331080111925e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.20331080111925e-06×40589641000000     		ar = 2816.19646958003m²