Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53922 / 21538
↖ ↑ ↗
← N 52.368892°
E116.202393°		 ← 372.93 m → N 52.368892°
E116.207886°		 →
↑
372.96 m
↓
↑
372.96 m
↓
N 52.365538°
E116.202393°		 ← 372.96 m →
139 093 m²		 N 52.365538°
E116.207886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822792053222656 y=0.328651428222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822792053222656 × 216)
    floor (0.822792053222656 × 65536)
    floor (53922.5)     		tx = 53922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328651428222656 × 216)
    floor (0.328651428222656 × 65536)
    floor (21538.5)     		ty = 21538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53922 / 21538 ti = "16/53922/21538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53922/21538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53922 ÷ 216
    53922 ÷ 65536     		x = 0.822784423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21538 ÷ 216
    21538 ÷ 65536     		y = 0.328643798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822784423828125 × 2 - 1) × π
    0.64556884765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02811435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328643798828125 × 2 - 1) × π
    0.34271240234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07666276546646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02811435} λ = 2.02811435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07666276546646))-π/2
    2×atan(2.93486884419764)-π/2
    2×1.2424029563333-π/2
    2.4848059126666-1.57079632675     		φ = 0.91400959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02811435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.202393°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91400959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.368892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53922 KachelY 21538 2.02811435 0.91400959 116.202393 52.368892
    Oben rechts KachelX + 1 53923 KachelY 21538 2.02821022 0.91400959 116.207886 52.368892
    Unten links KachelX 53922 KachelY + 1 21539 2.02811435 0.91395105 116.202393 52.365538
    Unten rechts KachelX + 1 53923 KachelY + 1 21539 2.02821022 0.91395105 116.207886 52.365538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91400959-0.91395105) × R
    5.85400000000513e-05 × 6371000     		dl = 372.958340000327m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91400959-0.91395105) × R
    5.85400000000513e-05 × 6371000     		dr = 372.958340000327m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02811435-2.02821022) × cos(0.91400959) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.610575238140375 × 6371000     		do = 372.93188812097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02811435-2.02821022) × cos(0.91395105) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.61062159833043 × 6371000     		du = 372.960204358071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91400959)-sin(0.91395105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610575238140375-0.61062159833043)×R²
    abs(2.02821022-2.02811435)×4.63601900549948e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.63601900549948e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.63601900549948e-05×40589641000000     		ar = 139093.338354909m²