Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53921 / 18657
↖ ↑ ↗
← N 77.933481°
W 31.901550°		 ← 63.85 m → N 77.933481°
W 31.898804°		 →
↑
63.84 m
↓
↑
63.84 m
↓
N 77.932907°
W 31.901550°		 ← 63.85 m →
4 076 m²		 N 77.932907°
W 31.898804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411388397216797 y=0.142345428466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411388397216797 × 217)
    floor (0.411388397216797 × 131072)
    floor (53921.5)     		tx = 53921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142345428466797 × 217)
    floor (0.142345428466797 × 131072)
    floor (18657.5)     		ty = 18657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53921 / 18657 ti = "17/53921/18657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53921/18657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53921 ÷ 217
    53921 ÷ 131072     		x = 0.411384582519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18657 ÷ 217
    18657 ÷ 131072     		y = 0.142341613769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411384582519531 × 2 - 1) × π
    -0.177230834960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.55678709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142341613769531 × 2 - 1) × π
    0.715316772460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.24723391728861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55678709} λ = -0.55678709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24723391728861))-π/2
    2×atan(9.46152823719483)-π/2
    2×1.4654960842804-π/2
    2.93099216856081-1.57079632675     		φ = 1.36019584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55678709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.901550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36019584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.933481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53921 KachelY 18657 -0.55678709 1.36019584 -31.901550 77.933481
    Oben rechts KachelX + 1 53922 KachelY 18657 -0.55673915 1.36019584 -31.898804 77.933481
    Unten links KachelX 53921 KachelY + 1 18658 -0.55678709 1.36018582 -31.901550 77.932907
    Unten rechts KachelX + 1 53922 KachelY + 1 18658 -0.55673915 1.36018582 -31.898804 77.932907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36019584-1.36018582) × R
    1.0019999999944e-05 × 6371000     		dl = 63.837419999643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36019584-1.36018582) × R
    1.0019999999944e-05 × 6371000     		dr = 63.837419999643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55678709--0.55673915) × cos(1.36019584) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.209047156876405 × 6371000     		do = 63.8483825839782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55678709--0.55673915) × cos(1.36018582) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.209056955479632 × 6371000     		du = 63.8513753296196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36019584)-sin(1.36018582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209047156876405-0.209056955479632)×R²
    abs(-0.55673915--0.55678709)×9.79860322661286e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.79860322661286e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.79860322661286e-06×40589641000000     		ar = 4076.0115400052m²