Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53921 / 15200
↖ ↑ ↗
← N 79.765560°
W 31.901550°		 ← 54.27 m → N 79.765560°
W 31.898804°		 →
↑
54.28 m
↓
↑
54.28 m
↓
N 79.765072°
W 31.901550°		 ← 54.27 m →
2 946 m²		 N 79.765072°
W 31.898804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411388397216797 y=0.115970611572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411388397216797 × 217)
    floor (0.411388397216797 × 131072)
    floor (53921.5)     		tx = 53921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115970611572266 × 217)
    floor (0.115970611572266 × 131072)
    floor (15200.5)     		ty = 15200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53921 / 15200 ti = "17/53921/15200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53921/15200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53921 ÷ 217
    53921 ÷ 131072     		x = 0.411384582519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15200 ÷ 217
    15200 ÷ 131072     		y = 0.115966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411384582519531 × 2 - 1) × π
    -0.177230834960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.55678709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115966796875 × 2 - 1) × π
    0.76806640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41295177927515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55678709} λ = -0.55678709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41295177927515))-π/2
    2×atan(11.166874693691)-π/2
    2×1.48148398879272-π/2
    2.96296797758544-1.57079632675     		φ = 1.39217165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55678709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.901550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39217165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.765560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53921 KachelY 15200 -0.55678709 1.39217165 -31.901550 79.765560
    Oben rechts KachelX + 1 53922 KachelY 15200 -0.55673915 1.39217165 -31.898804 79.765560
    Unten links KachelX 53921 KachelY + 1 15201 -0.55678709 1.39216313 -31.901550 79.765072
    Unten rechts KachelX + 1 53922 KachelY + 1 15201 -0.55673915 1.39216313 -31.898804 79.765072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39217165-1.39216313) × R
    8.52000000017838e-06 × 6371000     		dl = 54.2809200011365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39217165-1.39216313) × R
    8.52000000017838e-06 × 6371000     		dr = 54.2809200011365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55678709--0.55673915) × cos(1.39217165) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.177676301473069 × 6371000     		do = 54.2669158579651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55678709--0.55673915) × cos(1.39216313) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.177684685904778 × 6371000     		du = 54.2694766792246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39217165)-sin(1.39216313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177676301473069-0.177684685904778)×R²
    abs(-0.55673915--0.55678709)×8.38443170994574e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.38443170994574e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.38443170994574e-06×40589641000000     		ar = 2945.72762040076m²