Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53921 / 14727
↖ ↑ ↗
← N 79.993829°
W 31.901550°		 ← 53.07 m → N 79.993829°
W 31.898804°		 →
↑
53.07 m
↓
↑
53.07 m
↓
N 79.993351°
W 31.901550°		 ← 53.07 m →
2 816 m²		 N 79.993351°
W 31.898804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411388397216797 y=0.112361907958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411388397216797 × 217)
    floor (0.411388397216797 × 131072)
    floor (53921.5)     		tx = 53921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112361907958984 × 217)
    floor (0.112361907958984 × 131072)
    floor (14727.5)     		ty = 14727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53921 / 14727 ti = "17/53921/14727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53921/14727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53921 ÷ 217
    53921 ÷ 131072     		x = 0.411384582519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14727 ÷ 217
    14727 ÷ 131072     		y = 0.112358093261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411384582519531 × 2 - 1) × π
    -0.177230834960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.55678709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112358093261719 × 2 - 1) × π
    0.775283813476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.43562593279543
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55678709} λ = -0.55678709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43562593279543))-π/2
    2×atan(11.4229664854655)-π/2
    2×1.48347600631757-π/2
    2.96695201263515-1.57079632675     		φ = 1.39615569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55678709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.901550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39615569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.993829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53921 KachelY 14727 -0.55678709 1.39615569 -31.901550 79.993829
    Oben rechts KachelX + 1 53922 KachelY 14727 -0.55673915 1.39615569 -31.898804 79.993829
    Unten links KachelX 53921 KachelY + 1 14728 -0.55678709 1.39614736 -31.901550 79.993351
    Unten rechts KachelX + 1 53922 KachelY + 1 14728 -0.55673915 1.39614736 -31.898804 79.993351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39615569-1.39614736) × R
    8.33000000000084e-06 × 6371000     		dl = 53.0704300000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39615569-1.39614736) × R
    8.33000000000084e-06 × 6371000     		dr = 53.0704300000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55678709--0.55673915) × cos(1.39615569) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.173754251873712 × 6371000     		do = 53.0690209567631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55678709--0.55673915) × cos(1.39614736) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.173762455160415 × 6371000     		du = 53.0715264516748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39615569)-sin(1.39614736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173754251873712-0.173762455160415)×R²
    abs(-0.55673915--0.55678709)×8.20328670292358e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.20328670292358e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.20328670292358e-06×40589641000000     		ar = 2816.46224559438m²