Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53920 / 21478
↖ ↑ ↗
← N 52.569673°
E116.191406°		 ← 371.27 m → N 52.569673°
E116.196900°		 →
↑
371.24 m
↓
↑
371.24 m
↓
N 52.566334°
E116.191406°		 ← 371.30 m →
137 836 m²		 N 52.566334°
E116.196900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822761535644531 y=0.327735900878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822761535644531 × 216)
    floor (0.822761535644531 × 65536)
    floor (53920.5)     		tx = 53920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327735900878906 × 216)
    floor (0.327735900878906 × 65536)
    floor (21478.5)     		ty = 21478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53920 / 21478 ti = "16/53920/21478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53920/21478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53920 ÷ 216
    53920 ÷ 65536     		x = 0.82275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21478 ÷ 216
    21478 ÷ 65536     		y = 0.327728271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82275390625 × 2 - 1) × π
    0.6455078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02792260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327728271484375 × 2 - 1) × π
    0.34454345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08241519342087
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02792260} λ = 2.02792260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08241519342087))-π/2
    2×atan(2.9518001170546)-π/2
    2×1.24415510363438-π/2
    2.48831020726877-1.57079632675     		φ = 0.91751388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02792260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.191406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91751388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.569673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53920 KachelY 21478 2.02792260 0.91751388 116.191406 52.569673
    Oben rechts KachelX + 1 53921 KachelY 21478 2.02801848 0.91751388 116.196900 52.569673
    Unten links KachelX 53920 KachelY + 1 21479 2.02792260 0.91745561 116.191406 52.566334
    Unten rechts KachelX + 1 53921 KachelY + 1 21479 2.02801848 0.91745561 116.196900 52.566334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91751388-0.91745561) × R
    5.82700000000269e-05 × 6371000     		dl = 371.238170000171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91751388-0.91745561) × R
    5.82700000000269e-05 × 6371000     		dr = 371.238170000171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02792260-2.02801848) × cos(0.91751388) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.607796243482084 × 6371000     		do = 371.273234869228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02792260-2.02801848) × cos(0.91745561) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.607842514250553 × 6371000     		du = 371.301499436628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91751388)-sin(0.91745561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607796243482084-0.607842514250553)×R²
    abs(2.02801848-2.02792260)×4.627076846897e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.627076846897e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.627076846897e-05×40589641000000     		ar = 137836.042765273m²