Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53920 / 13408
↖ ↑ ↗
← N 80.604087°
W 31.904297°		 ← 49.86 m → N 80.604087°
W 31.901550°		 →
↑
49.88 m
↓
↑
49.88 m
↓
N 80.603638°
W 31.904297°		 ← 49.86 m →
2 487 m²		 N 80.603638°
W 31.901550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411380767822266 y=0.102298736572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411380767822266 × 217)
    floor (0.411380767822266 × 131072)
    floor (53920.5)     		tx = 53920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102298736572266 × 217)
    floor (0.102298736572266 × 131072)
    floor (13408.5)     		ty = 13408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53920 / 13408 ti = "17/53920/13408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53920/13408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53920 ÷ 217
    53920 ÷ 131072     		x = 0.411376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13408 ÷ 217
    13408 ÷ 131072     		y = 0.102294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411376953125 × 2 - 1) × π
    -0.17724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55683503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102294921875 × 2 - 1) × π
    0.79541015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.49885470339429
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55683503} λ = -0.55683503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49885470339429))-π/2
    2×atan(12.1685493785867)-π/2
    2×1.48880151262248-π/2
    2.97760302524495-1.57079632675     		φ = 1.40680670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55683503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.904297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40680670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.604087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53920 KachelY 13408 -0.55683503 1.40680670 -31.904297 80.604087
    Oben rechts KachelX + 1 53921 KachelY 13408 -0.55678709 1.40680670 -31.901550 80.604087
    Unten links KachelX 53920 KachelY + 1 13409 -0.55683503 1.40679887 -31.904297 80.603638
    Unten rechts KachelX + 1 53921 KachelY + 1 13409 -0.55678709 1.40679887 -31.901550 80.603638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40680670-1.40679887) × R
    7.82999999993095e-06 × 6371000     		dl = 49.8849299995601m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40680670-1.40679887) × R
    7.82999999993095e-06 × 6371000     		dr = 49.8849299995601m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55683503--0.55678709) × cos(1.40680670) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163255596645971 × 6371000     		do = 49.8624614147045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55683503--0.55678709) × cos(1.40679887) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163263321592183 × 6371000     		du = 49.8648208121177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40680670)-sin(1.40679887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163255596645971-0.163263321592183)×R²
    abs(-0.55678709--0.55683503)×7.72494621181785e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.72494621181785e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.72494621181785e-06×40589641000000     		ar = 2487.44424633469m²