Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5392 / 2320
↖ ↑ ↗
← N 82.285331°
W120.761719°		 ← 163.99 m → N 82.285331°
W120.750732°		 →
↑
163.99 m
↓
↑
163.99 m
↓
N 82.283857°
W120.761719°		 ← 164.02 m →
26 896 m²		 N 82.283857°
W120.750732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164566040039062 y=0.0708160400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164566040039062 × 215)
    floor (0.164566040039062 × 32768)
    floor (5392.5)     		tx = 5392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0708160400390625 × 215)
    floor (0.0708160400390625 × 32768)
    floor (2320.5)     		ty = 2320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5392 / 2320 ti = "15/5392/2320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5392/2320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5392 ÷ 215
    5392 ÷ 32768     		x = 0.16455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2320 ÷ 215
    2320 ÷ 32768     		y = 0.07080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16455078125 × 2 - 1) × π
    -0.6708984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.10768960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07080078125 × 2 - 1) × π
    0.8583984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.69673822502588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10768960} λ = -2.10768960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69673822502588))-π/2
    2×atan(14.8312764563624)-π/2
    2×1.5034731437515-π/2
    3.00694628750299-1.57079632675     		φ = 1.43614996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10768960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.761719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43614996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.285331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5392 KachelY 2320 -2.10768960 1.43614996 -120.761719 82.285331
    Oben rechts KachelX + 1 5393 KachelY 2320 -2.10749785 1.43614996 -120.750732 82.285331
    Unten links KachelX 5392 KachelY + 1 2321 -2.10768960 1.43612422 -120.761719 82.283857
    Unten rechts KachelX + 1 5393 KachelY + 1 2321 -2.10749785 1.43612422 -120.750732 82.283857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43614996-1.43612422) × R
    2.57400000001073e-05 × 6371000     		dl = 163.989540000684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43614996-1.43612422) × R
    2.57400000001073e-05 × 6371000     		dr = 163.989540000684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10768960--2.10749785) × cos(1.43614996) × R
    0.000191749999999935 × 0.134239886985264 × 6371000     		do = 163.992714856707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10768960--2.10749785) × cos(1.43612422) × R
    0.000191749999999935 × 0.134265393964572 × 6371000     		du = 164.023875183779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43614996)-sin(1.43612422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134239886985264-0.134265393964572)×R²
    abs(-2.10749785--2.10768960)×2.55069793082818e-05×R²
    0.000191749999999935×2.55069793082818e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.55069793082818e-05×40589641000000     		ar = 26895.6448579283m²