Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53919 / 11105
↖ ↑ ↗
← N 81.582441°
W 31.907043°		 ← 44.70 m → N 81.582441°
W 31.904297°		 →
↑
44.72 m
↓
↑
44.72 m
↓
N 81.582039°
W 31.907043°		 ← 44.70 m →
1 999 m²		 N 81.582039°
W 31.904297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411373138427734 y=0.0847282409667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411373138427734 × 217)
    floor (0.411373138427734 × 131072)
    floor (53919.5)     		tx = 53919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0847282409667969 × 217)
    floor (0.0847282409667969 × 131072)
    floor (11105.5)     		ty = 11105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53919 / 11105 ti = "17/53919/11105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53919/11105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53919 ÷ 217
    53919 ÷ 131072     		x = 0.411369323730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11105 ÷ 217
    11105 ÷ 131072     		y = 0.0847244262695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411369323730469 × 2 - 1) × π
    -0.177261352539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.55688296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0847244262695312 × 2 - 1) × π
    0.830551147460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.60925338321928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55688296} λ = -0.55688296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60925338321928))-π/2
    2×atan(13.5889013616244)-π/2
    2×1.49733926947625-π/2
    2.99467853895251-1.57079632675     		φ = 1.42388221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55688296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.907043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42388221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.582441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53919 KachelY 11105 -0.55688296 1.42388221 -31.907043 81.582441
    Oben rechts KachelX + 1 53920 KachelY 11105 -0.55683503 1.42388221 -31.904297 81.582441
    Unten links KachelX 53919 KachelY + 1 11106 -0.55688296 1.42387519 -31.907043 81.582039
    Unten rechts KachelX + 1 53920 KachelY + 1 11106 -0.55683503 1.42387519 -31.904297 81.582039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42388221-1.42387519) × R
    7.01999999996872e-06 × 6371000     		dl = 44.7244199998007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42388221-1.42387519) × R
    7.01999999996872e-06 × 6371000     		dr = 44.7244199998007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55688296--0.55683503) × cos(1.42388221) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.14638619372832 × 6371000     		do = 44.7007852808804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55688296--0.55683503) × cos(1.42387519) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.146393138101889 × 6371000     		du = 44.7029058288905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42388221)-sin(1.42387519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14638619372832-0.146393138101889)×R²
    abs(-0.55683503--0.55688296)×6.94437356899003e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.94437356899003e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.94437356899003e-06×40589641000000     		ar = 1999.26411538893m²