Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53917 / 21027
↖ ↑ ↗
← N 54.049714°
E116.174927°		 ← 358.58 m → N 54.049714°
E116.180420°		 →
↑
358.62 m
↓
↑
358.62 m
↓
N 54.046489°
E116.174927°		 ← 358.61 m →
128 601 m²		 N 54.046489°
E116.180420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822715759277344 y=0.320854187011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822715759277344 × 216)
    floor (0.822715759277344 × 65536)
    floor (53917.5)     		tx = 53917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320854187011719 × 216)
    floor (0.320854187011719 × 65536)
    floor (21027.5)     		ty = 21027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53917 / 21027 ti = "16/53917/21027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53917/21027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53917 ÷ 216
    53917 ÷ 65536     		x = 0.822708129882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21027 ÷ 216
    21027 ÷ 65536     		y = 0.320846557617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822708129882812 × 2 - 1) × π
    0.645416259765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02763498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320846557617188 × 2 - 1) × π
    0.358306884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.12565427687816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02763498} λ = 2.02763498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12565427687816))-π/2
    2×atan(3.0822328230127)-π/2
    2×1.25707089950782-π/2
    2.51414179901565-1.57079632675     		φ = 0.94334547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02763498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.174927°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94334547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.049714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53917 KachelY 21027 2.02763498 0.94334547 116.174927 54.049714
    Oben rechts KachelX + 1 53918 KachelY 21027 2.02773085 0.94334547 116.180420 54.049714
    Unten links KachelX 53917 KachelY + 1 21028 2.02763498 0.94328918 116.174927 54.046489
    Unten rechts KachelX + 1 53918 KachelY + 1 21028 2.02773085 0.94328918 116.180420 54.046489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94334547-0.94328918) × R
    5.62900000000699e-05 × 6371000     		dl = 358.623590000445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94334547-0.94328918) × R
    5.62900000000699e-05 × 6371000     		dr = 358.623590000445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02763498-2.02773085) × cos(0.94334547) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.587083068171808 × 6371000     		do = 358.583158013409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02763498-2.02773085) × cos(0.94328918) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.58712863549938 × 6371000     		du = 358.610989979802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94334547)-sin(0.94328918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587083068171808-0.58712863549938)×R²
    abs(2.02773085-2.02763498)×4.55673275723267e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.55673275723267e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.55673275723267e-05×40589641000000     		ar = 128601.370074094m²