Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53916 / 11596
↖ ↑ ↗
← N 81.382713°
W 31.915283°		 ← 45.75 m → N 81.382713°
W 31.912537°		 →
↑
45.74 m
↓
↑
45.74 m
↓
N 81.382302°
W 31.915283°		 ← 45.76 m →
2 093 m²		 N 81.382302°
W 31.912537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411350250244141 y=0.0884742736816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411350250244141 × 217)
    floor (0.411350250244141 × 131072)
    floor (53916.5)     		tx = 53916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0884742736816406 × 217)
    floor (0.0884742736816406 × 131072)
    floor (11596.5)     		ty = 11596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53916 / 11596 ti = "17/53916/11596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53916/11596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53916 ÷ 217
    53916 ÷ 131072     		x = 0.411346435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11596 ÷ 217
    11596 ÷ 131072     		y = 0.088470458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411346435546875 × 2 - 1) × π
    -0.17730712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55702677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.088470458984375 × 2 - 1) × π
    0.82305908203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.58571636550583
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55702677} λ = -0.55702677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58571636550583))-π/2
    2×atan(13.272793856803)-π/2
    2×1.49559631346475-π/2
    2.9911926269295-1.57079632675     		φ = 1.42039630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55702677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.915283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42039630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.382713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53916 KachelY 11596 -0.55702677 1.42039630 -31.915283 81.382713
    Oben rechts KachelX + 1 53917 KachelY 11596 -0.55697884 1.42039630 -31.912537 81.382713
    Unten links KachelX 53916 KachelY + 1 11597 -0.55702677 1.42038912 -31.915283 81.382302
    Unten rechts KachelX + 1 53917 KachelY + 1 11597 -0.55697884 1.42038912 -31.912537 81.382302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42039630-1.42038912) × R
    7.1799999998845e-06 × 6371000     		dl = 45.7437799992642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42039630-1.42038912) × R
    7.1799999998845e-06 × 6371000     		dr = 45.7437799992642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55702677--0.55697884) × cos(1.42039630) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149833655431591 × 6371000     		do = 45.7535091849393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55702677--0.55697884) × cos(1.42038912) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149840754374286 × 6371000     		du = 45.7556769324912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42039630)-sin(1.42038912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149833655431591-0.149840754374286)×R²
    abs(-0.55697884--0.55702677)×7.09894269418365e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.09894269418365e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.09894269418365e-06×40589641000000     		ar = 2092.98803882426m²