Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53915 / 50102
↖ ↑ ↗
← S 68.508118°
E116.163940°		 ← 223.80 m → S 68.508118°
E116.169434°		 →
↑
223.81 m
↓
↑
223.81 m
↓
S 68.510131°
E116.163940°		 ← 223.78 m →
50 087 m²		 S 68.510131°
E116.169434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822685241699219 y=0.764503479003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822685241699219 × 216)
    floor (0.822685241699219 × 65536)
    floor (53915.5)     		tx = 53915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764503479003906 × 216)
    floor (0.764503479003906 × 65536)
    floor (50102.5)     		ty = 50102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53915 / 50102 ti = "16/53915/50102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53915/50102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53915 ÷ 216
    53915 ÷ 65536     		x = 0.822677612304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50102 ÷ 216
    50102 ÷ 65536     		y = 0.764495849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822677612304688 × 2 - 1) × π
    0.645355224609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02744323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764495849609375 × 2 - 1) × π
    -0.52899169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.66187643602811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02744323} λ = 2.02744323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66187643602811))-π/2
    2×atan(0.189782531000467)-π/2
    2×0.187552046244091-π/2
    0.375104092488181-1.57079632675     		φ = -1.19569223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02744323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.163940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19569223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.508118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53915 KachelY 50102 2.02744323 -1.19569223 116.163940 -68.508118
    Oben rechts KachelX + 1 53916 KachelY 50102 2.02753911 -1.19569223 116.169434 -68.508118
    Unten links KachelX 53915 KachelY + 1 50103 2.02744323 -1.19572736 116.163940 -68.510131
    Unten rechts KachelX + 1 53916 KachelY + 1 50103 2.02753911 -1.19572736 116.169434 -68.510131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19569223--1.19572736) × R
    3.51300000001054e-05 × 6371000     		dl = 223.813230000671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19569223--1.19572736) × R
    3.51300000001054e-05 × 6371000     		dr = 223.813230000671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02744323-2.02753911) × cos(-1.19569223) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.36636938996245 × 6371000     		do = 223.797284086149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02744323-2.02753911) × cos(-1.19572736) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.366336702343234 × 6371000     		du = 223.777316805574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19569223)-sin(-1.19572736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36636938996245-0.366336702343234)×R²
    abs(2.02753911-2.02744323)×3.26876192158765e-05×R²
    9.58800000003812e-05×3.26876192158765e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×3.26876192158765e-05×40589641000000     		ar = 50086.5585510593m²