Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53915 / 21599
↖ ↑ ↗
← N 52.163824°
E116.163940°		 ← 374.70 m → N 52.163824°
E116.169434°		 →
↑
374.68 m
↓
↑
374.68 m
↓
N 52.160454°
E116.163940°		 ← 374.73 m →
140 397 m²		 N 52.160454°
E116.169434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822685241699219 y=0.329582214355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822685241699219 × 216)
    floor (0.822685241699219 × 65536)
    floor (53915.5)     		tx = 53915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329582214355469 × 216)
    floor (0.329582214355469 × 65536)
    floor (21599.5)     		ty = 21599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53915 / 21599 ti = "16/53915/21599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53915/21599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53915 ÷ 216
    53915 ÷ 65536     		x = 0.822677612304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21599 ÷ 216
    21599 ÷ 65536     		y = 0.329574584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822677612304688 × 2 - 1) × π
    0.645355224609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02744323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329574584960938 × 2 - 1) × π
    0.340850830078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.07081446371281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02744323} λ = 2.02744323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07081446371281))-π/2
    2×atan(2.91775493801154)-π/2
    2×1.24061340495953-π/2
    2.48122680991907-1.57079632675     		φ = 0.91043048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02744323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.163940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91043048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.163824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53915 KachelY 21599 2.02744323 0.91043048 116.163940 52.163824
    Oben rechts KachelX + 1 53916 KachelY 21599 2.02753911 0.91043048 116.169434 52.163824
    Unten links KachelX 53915 KachelY + 1 21600 2.02744323 0.91037167 116.163940 52.160454
    Unten rechts KachelX + 1 53916 KachelY + 1 21600 2.02753911 0.91037167 116.169434 52.160454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91043048-0.91037167) × R
    5.88100000000757e-05 × 6371000     		dl = 374.678510000483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91043048-0.91037167) × R
    5.88100000000757e-05 × 6371000     		dr = 374.678510000483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02744323-2.02753911) × cos(0.91043048) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.613405827061905 × 6371000     		do = 374.699857302879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02744323-2.02753911) × cos(0.91037167) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.613452272249651 × 6371000     		du = 374.728228414552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91043048)-sin(0.91037167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613405827061905-0.613452272249651)×R²
    abs(2.02753911-2.02744323)×4.64451877462135e-05×R²
    9.58800000003812e-05×4.64451877462135e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×4.64451877462135e-05×40589641000000     		ar = 140397.299295049m²