Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53915 / 20849
↖ ↑ ↗
← N 54.619798°
E116.163940°		 ← 353.68 m → N 54.619798°
E116.169434°		 →
↑
353.72 m
↓
↑
353.72 m
↓
N 54.616617°
E116.163940°		 ← 353.71 m →
125 109 m²		 N 54.616617°
E116.169434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822685241699219 y=0.318138122558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822685241699219 × 216)
    floor (0.822685241699219 × 65536)
    floor (53915.5)     		tx = 53915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318138122558594 × 216)
    floor (0.318138122558594 × 65536)
    floor (20849.5)     		ty = 20849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53915 / 20849 ti = "16/53915/20849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53915/20849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53915 ÷ 216
    53915 ÷ 65536     		x = 0.822677612304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20849 ÷ 216
    20849 ÷ 65536     		y = 0.318130493164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822677612304688 × 2 - 1) × π
    0.645355224609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02744323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318130493164062 × 2 - 1) × π
    0.363739013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.1427198131429
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02744323} λ = 2.02744323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1427198131429))-π/2
    2×atan(3.13528416632497)-π/2
    2×1.26204581686287-π/2
    2.52409163372574-1.57079632675     		φ = 0.95329531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02744323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.163940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95329531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.619798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53915 KachelY 20849 2.02744323 0.95329531 116.163940 54.619798
    Oben rechts KachelX + 1 53916 KachelY 20849 2.02753911 0.95329531 116.169434 54.619798
    Unten links KachelX 53915 KachelY + 1 20850 2.02744323 0.95323979 116.163940 54.616617
    Unten rechts KachelX + 1 53916 KachelY + 1 20850 2.02753911 0.95323979 116.169434 54.616617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95329531-0.95323979) × R
    5.55199999999756e-05 × 6371000     		dl = 353.717919999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95329531-0.95323979) × R
    5.55199999999756e-05 × 6371000     		dr = 353.717919999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02744323-2.02753911) × cos(0.95329531) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.57899947980275 × 6371000     		do = 353.682689158146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02744323-2.02753911) × cos(0.95323979) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.579044745915969 × 6371000     		du = 353.7103400304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95329531)-sin(0.95323979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57899947980275-0.579044745915969)×R²
    abs(2.02753911-2.02744323)×4.5266113218756e-05×R²
    9.58800000003812e-05×4.5266113218756e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×4.5266113218756e-05×40589641000000     		ar = 125108.795485519m²