Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53914 / 18642
↖ ↑ ↗
← N 77.942091°
W 31.920777°		 ← 63.80 m → N 77.942091°
W 31.918030°		 →
↑
63.84 m
↓
↑
63.84 m
↓
N 77.941517°
W 31.920777°		 ← 63.81 m →
4 073 m²		 N 77.941517°
W 31.918030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411334991455078 y=0.142230987548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411334991455078 × 217)
    floor (0.411334991455078 × 131072)
    floor (53914.5)     		tx = 53914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142230987548828 × 217)
    floor (0.142230987548828 × 131072)
    floor (18642.5)     		ty = 18642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53914 / 18642 ti = "17/53914/18642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53914/18642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53914 ÷ 217
    53914 ÷ 131072     		x = 0.411331176757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18642 ÷ 217
    18642 ÷ 131072     		y = 0.142227172851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411331176757812 × 2 - 1) × π
    -0.177337646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55712265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142227172851562 × 2 - 1) × π
    0.715545654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24795297078291
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55712265} λ = -0.55712265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24795297078291))-π/2
    2×atan(9.46833402870606)-π/2
    2×1.4655712159057-π/2
    2.9311424318114-1.57079632675     		φ = 1.36034611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55712265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.920777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36034611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.942091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53914 KachelY 18642 -0.55712265 1.36034611 -31.920777 77.942091
    Oben rechts KachelX + 1 53915 KachelY 18642 -0.55707471 1.36034611 -31.918030 77.942091
    Unten links KachelX 53914 KachelY + 1 18643 -0.55712265 1.36033609 -31.920777 77.941517
    Unten rechts KachelX + 1 53915 KachelY + 1 18643 -0.55707471 1.36033609 -31.918030 77.941517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36034611-1.36033609) × R
    1.0019999999944e-05 × 6371000     		dl = 63.837419999643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36034611-1.36033609) × R
    1.0019999999944e-05 × 6371000     		dr = 63.837419999643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55712265--0.55707471) × cos(1.36034611) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.208900204648055 × 6371000     		do = 63.8034995908895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55712265--0.55707471) × cos(1.36033609) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.208910003565942 × 6371000     		du = 63.8064924326363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36034611)-sin(1.36033609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208900204648055-0.208910003565942)×R²
    abs(-0.55707471--0.55712265)×9.79891788679965e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.79891788679965e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.79891788679965e-06×40589641000000     		ar = 4073.14632845761m²