Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53914 / 10906
↖ ↑ ↗
← N 81.662075°
W 31.920777°		 ← 44.29 m → N 81.662075°
W 31.918030°		 →
↑
44.34 m
↓
↑
44.34 m
↓
N 81.661677°
W 31.920777°		 ← 44.29 m →
1 964 m²		 N 81.661677°
W 31.918030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411334991455078 y=0.0832099914550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411334991455078 × 217)
    floor (0.411334991455078 × 131072)
    floor (53914.5)     		tx = 53914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0832099914550781 × 217)
    floor (0.0832099914550781 × 131072)
    floor (10906.5)     		ty = 10906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53914 / 10906 ti = "17/53914/10906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53914/10906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53914 ÷ 217
    53914 ÷ 131072     		x = 0.411331176757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10906 ÷ 217
    10906 ÷ 131072     		y = 0.0832061767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411331176757812 × 2 - 1) × π
    -0.177337646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55712265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0832061767578125 × 2 - 1) × π
    0.833587646484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.61879282624367
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55712265} λ = -0.55712265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61879282624367))-π/2
    2×atan(13.7191521843342)-π/2
    2×1.49803420651195-π/2
    2.99606841302389-1.57079632675     		φ = 1.42527209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55712265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.920777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42527209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.662075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53914 KachelY 10906 -0.55712265 1.42527209 -31.920777 81.662075
    Oben rechts KachelX + 1 53915 KachelY 10906 -0.55707471 1.42527209 -31.918030 81.662075
    Unten links KachelX 53914 KachelY + 1 10907 -0.55712265 1.42526513 -31.920777 81.661677
    Unten rechts KachelX + 1 53915 KachelY + 1 10907 -0.55707471 1.42526513 -31.918030 81.661677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42527209-1.42526513) × R
    6.95999999988928e-06 × 6371000     		dl = 44.3421599992946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42527209-1.42526513) × R
    6.95999999988928e-06 × 6371000     		dr = 44.3421599992946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55712265--0.55707471) × cos(1.42527209) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.145011145236383 × 6371000     		do = 44.2901363421433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55712265--0.55707471) × cos(1.42526513) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.145018031665821 × 6371000     		du = 44.2922396349505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42527209)-sin(1.42526513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145011145236383-0.145018031665821)×R²
    abs(-0.55707471--0.55712265)×6.88642943827422e-06×R²
    4.79400000000796e-05×6.88642943827422e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×6.88642943827422e-06×40589641000000     		ar = 1963.96694428264m²