Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53913 / 18647
↖ ↑ ↗
← N 77.939221°
W 31.923523°		 ← 63.81 m → N 77.939221°
W 31.920777°		 →
↑
63.84 m
↓
↑
63.84 m
↓
N 77.938647°
W 31.923523°		 ← 63.81 m →
4 073 m²		 N 77.938647°
W 31.920777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411327362060547 y=0.142269134521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411327362060547 × 217)
    floor (0.411327362060547 × 131072)
    floor (53913.5)     		tx = 53913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142269134521484 × 217)
    floor (0.142269134521484 × 131072)
    floor (18647.5)     		ty = 18647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53913 / 18647 ti = "17/53913/18647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53913/18647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53913 ÷ 217
    53913 ÷ 131072     		x = 0.411323547363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18647 ÷ 217
    18647 ÷ 131072     		y = 0.142265319824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411323547363281 × 2 - 1) × π
    -0.177352905273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.55717058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142265319824219 × 2 - 1) × π
    0.715469360351562 × 3.1415926535     		Φ = 2.24771328628481
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55717058} λ = -0.55717058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24771328628481))-π/2
    2×atan(9.46606488776636)-π/2
    2×1.46554617790048-π/2
    2.93109235580096-1.57079632675     		φ = 1.36029603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55717058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.923523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36029603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.939221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53913 KachelY 18647 -0.55717058 1.36029603 -31.923523 77.939221
    Oben rechts KachelX + 1 53914 KachelY 18647 -0.55712265 1.36029603 -31.920777 77.939221
    Unten links KachelX 53913 KachelY + 1 18648 -0.55717058 1.36028601 -31.923523 77.938647
    Unten rechts KachelX + 1 53914 KachelY + 1 18648 -0.55712265 1.36028601 -31.920777 77.938647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36029603-1.36028601) × R
    1.0019999999944e-05 × 6371000     		dl = 63.837419999643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36029603-1.36028601) × R
    1.0019999999944e-05 × 6371000     		dr = 63.837419999643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55717058--0.55712265) × cos(1.36029603) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.208949179469203 × 6371000     		do = 63.8051456094414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55717058--0.55712265) × cos(1.36028601) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.208958978282248 × 6371000     		du = 63.8081377948846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36029603)-sin(1.36028601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208949179469203-0.208958978282248)×R²
    abs(-0.55712265--0.55717058)×9.79881304560837e-06×R²
    4.79299999999183e-05×9.79881304560837e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×9.79881304560837e-06×40589641000000     		ar = 4073.25138519189m²