Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53913 / 18634
↖ ↑ ↗
← N 77.946680°
W 31.923523°		 ← 63.77 m → N 77.946680°
W 31.920777°		 →
↑
63.77 m
↓
↑
63.77 m
↓
N 77.946106°
W 31.923523°		 ← 63.77 m →
4 067 m²		 N 77.946106°
W 31.920777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411327362060547 y=0.142169952392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411327362060547 × 217)
    floor (0.411327362060547 × 131072)
    floor (53913.5)     		tx = 53913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142169952392578 × 217)
    floor (0.142169952392578 × 131072)
    floor (18634.5)     		ty = 18634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53913 / 18634 ti = "17/53913/18634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53913/18634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53913 ÷ 217
    53913 ÷ 131072     		x = 0.411323547363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18634 ÷ 217
    18634 ÷ 131072     		y = 0.142166137695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411323547363281 × 2 - 1) × π
    -0.177352905273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.55717058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142166137695312 × 2 - 1) × π
    0.715667724609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24833646597987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55717058} λ = -0.55717058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24833646597987))-π/2
    2×atan(9.47196578566545)-π/2
    2×1.46561126450889-π/2
    2.93122252901777-1.57079632675     		φ = 1.36042620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55717058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.923523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36042620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.946680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53913 KachelY 18634 -0.55717058 1.36042620 -31.923523 77.946680
    Oben rechts KachelX + 1 53914 KachelY 18634 -0.55712265 1.36042620 -31.920777 77.946680
    Unten links KachelX 53913 KachelY + 1 18635 -0.55717058 1.36041619 -31.923523 77.946106
    Unten rechts KachelX + 1 53914 KachelY + 1 18635 -0.55712265 1.36041619 -31.920777 77.946106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36042620-1.36041619) × R
    1.00100000000047e-05 × 6371000     		dl = 63.7737100000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36042620-1.36041619) × R
    1.00100000000047e-05 × 6371000     		dr = 63.7737100000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55717058--0.55712265) × cos(1.36042620) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.20882188100675 × 6371000     		do = 63.7662734925308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55717058--0.55712265) × cos(1.36041619) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.208831670312736 × 6371000     		du = 63.7692627748791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36042620)-sin(1.36041619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20882188100675-0.208831670312736)×R²
    abs(-0.55712265--0.55717058)×9.78930598616312e-06×R²
    4.79299999999183e-05×9.78930598616312e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×9.78930598616312e-06×40589641000000     		ar = 4066.70715236988m²