Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53913 / 14733
↖ ↑ ↗
← N 79.990964°
W 31.923523°		 ← 53.07 m → N 79.990964°
W 31.920777°		 →
↑
53.07 m
↓
↑
53.07 m
↓
N 79.990487°
W 31.923523°		 ← 53.08 m →
2 817 m²		 N 79.990487°
W 31.920777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411327362060547 y=0.112407684326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411327362060547 × 217)
    floor (0.411327362060547 × 131072)
    floor (53913.5)     		tx = 53913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112407684326172 × 217)
    floor (0.112407684326172 × 131072)
    floor (14733.5)     		ty = 14733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53913 / 14733 ti = "17/53913/14733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53913/14733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53913 ÷ 217
    53913 ÷ 131072     		x = 0.411323547363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14733 ÷ 217
    14733 ÷ 131072     		y = 0.112403869628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411323547363281 × 2 - 1) × π
    -0.177352905273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.55717058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112403869628906 × 2 - 1) × π
    0.775192260742188 × 3.1415926535     		Φ = 2.43533831139771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55717058} λ = -0.55717058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43533831139771))-π/2
    2×atan(11.4196814683221)-π/2
    2×1.48345101505743-π/2
    2.96690203011486-1.57079632675     		φ = 1.39610570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55717058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.923523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39610570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.990964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53913 KachelY 14733 -0.55717058 1.39610570 -31.923523 79.990964
    Oben rechts KachelX + 1 53914 KachelY 14733 -0.55712265 1.39610570 -31.920777 79.990964
    Unten links KachelX 53913 KachelY + 1 14734 -0.55717058 1.39609737 -31.923523 79.990487
    Unten rechts KachelX + 1 53914 KachelY + 1 14734 -0.55712265 1.39609737 -31.920777 79.990487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39610570-1.39609737) × R
    8.33000000000084e-06 × 6371000     		dl = 53.0704300000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39610570-1.39609737) × R
    8.33000000000084e-06 × 6371000     		dr = 53.0704300000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55717058--0.55712265) × cos(1.39610570) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.173803481260865 × 6371000     		do = 53.0729838587941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55717058--0.55712265) × cos(1.39609737) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.173811684475201 × 6371000     		du = 53.0754888089765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39610570)-sin(1.39609737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173803481260865-0.173811684475201)×R²
    abs(-0.55712265--0.55717058)×8.20321433681048e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.20321433681048e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.20321433681048e-06×40589641000000     		ar = 2816.67254433204m²