Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53912 / 20867
↖ ↑ ↗
← N 54.562508°
E116.147461°		 ← 354.14 m → N 54.562508°
E116.152954°		 →
↑
354.16 m
↓
↑
354.16 m
↓
N 54.559323°
E116.147461°		 ← 354.17 m →
125 430 m²		 N 54.559323°
E116.152954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822639465332031 y=0.318412780761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822639465332031 × 216)
    floor (0.822639465332031 × 65536)
    floor (53912.5)     		tx = 53912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318412780761719 × 216)
    floor (0.318412780761719 × 65536)
    floor (20867.5)     		ty = 20867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53912 / 20867 ti = "16/53912/20867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53912/20867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53912 ÷ 216
    53912 ÷ 65536     		x = 0.8226318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20867 ÷ 216
    20867 ÷ 65536     		y = 0.318405151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8226318359375 × 2 - 1) × π
    0.645263671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02715561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318405151367188 × 2 - 1) × π
    0.363189697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.14099408475658
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02715561} λ = 2.02715561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14099408475658))-π/2
    2×atan(3.12987818341068)-π/2
    2×1.26154586738435-π/2
    2.52309173476869-1.57079632675     		φ = 0.95229541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02715561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.147461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95229541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.562508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53912 KachelY 20867 2.02715561 0.95229541 116.147461 54.562508
    Oben rechts KachelX + 1 53913 KachelY 20867 2.02725148 0.95229541 116.152954 54.562508
    Unten links KachelX 53912 KachelY + 1 20868 2.02715561 0.95223982 116.147461 54.559323
    Unten rechts KachelX + 1 53913 KachelY + 1 20868 2.02725148 0.95223982 116.152954 54.559323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95229541-0.95223982) × R
    5.55899999999943e-05 × 6371000     		dl = 354.163889999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95229541-0.95223982) × R
    5.55899999999943e-05 × 6371000     		dr = 354.163889999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02715561-2.02725148) × cos(0.95229541) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.579814436603252 × 6371000     		do = 354.143566746699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02715561-2.02725148) × cos(0.95223982) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.579859727579899 × 6371000     		du = 354.171229921326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95229541)-sin(0.95223982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579814436603252-0.579859727579899)×R²
    abs(2.02725148-2.02715561)×4.52909766470722e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.52909766470722e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.52909766470722e-05×40589641000000     		ar = 125429.761898816m²