Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53912 / 18633
↖ ↑ ↗
← N 77.947253°
W 31.926269°		 ← 63.78 m → N 77.947253°
W 31.923523°		 →
↑
63.77 m
↓
↑
63.77 m
↓
N 77.946680°
W 31.926269°		 ← 63.78 m →
4 067 m²		 N 77.946680°
W 31.923523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411319732666016 y=0.142162322998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411319732666016 × 217)
    floor (0.411319732666016 × 131072)
    floor (53912.5)     		tx = 53912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142162322998047 × 217)
    floor (0.142162322998047 × 131072)
    floor (18633.5)     		ty = 18633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53912 / 18633 ti = "17/53912/18633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53912/18633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53912 ÷ 217
    53912 ÷ 131072     		x = 0.41131591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18633 ÷ 217
    18633 ÷ 131072     		y = 0.142158508300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41131591796875 × 2 - 1) × π
    -0.1773681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55721852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142158508300781 × 2 - 1) × π
    0.715682983398438 × 3.1415926535     		Φ = 2.24838440287949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55721852} λ = -0.55721852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24838440287949))-π/2
    2×atan(9.47241985322173)-π/2
    2×1.46561626952829-π/2
    2.93123253905658-1.57079632675     		φ = 1.36043621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55721852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.926269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36043621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.947253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53912 KachelY 18633 -0.55721852 1.36043621 -31.926269 77.947253
    Oben rechts KachelX + 1 53913 KachelY 18633 -0.55717058 1.36043621 -31.923523 77.947253
    Unten links KachelX 53912 KachelY + 1 18634 -0.55721852 1.36042620 -31.926269 77.946680
    Unten rechts KachelX + 1 53913 KachelY + 1 18634 -0.55717058 1.36042620 -31.923523 77.946680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36043621-1.36042620) × R
    1.00100000000047e-05 × 6371000     		dl = 63.7737100000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36043621-1.36042620) × R
    1.00100000000047e-05 × 6371000     		dr = 63.7737100000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55721852--0.55717058) × cos(1.36043621) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.208812091679839 × 6371000     		do = 63.7765876223687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55721852--0.55717058) × cos(1.36042620) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.20882188100675 × 6371000     		du = 63.7795775347843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36043621)-sin(1.36042620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208812091679839-0.20882188100675)×R²
    abs(-0.55717058--0.55721852)×9.78932691014789e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.78932691014789e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.78932691014789e-06×40589641000000     		ar = 4067.36494278192m²