Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53912 / 15192
↖ ↑ ↗
← N 79.769463°
W 31.926269°		 ← 54.25 m → N 79.769463°
W 31.923523°		 →
↑
54.28 m
↓
↑
54.28 m
↓
N 79.768975°
W 31.926269°		 ← 54.25 m →
2 945 m²		 N 79.768975°
W 31.923523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411319732666016 y=0.115909576416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411319732666016 × 217)
    floor (0.411319732666016 × 131072)
    floor (53912.5)     		tx = 53912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115909576416016 × 217)
    floor (0.115909576416016 × 131072)
    floor (15192.5)     		ty = 15192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53912 / 15192 ti = "17/53912/15192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53912/15192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53912 ÷ 217
    53912 ÷ 131072     		x = 0.41131591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15192 ÷ 217
    15192 ÷ 131072     		y = 0.11590576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41131591796875 × 2 - 1) × π
    -0.1773681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55721852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11590576171875 × 2 - 1) × π
    0.7681884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41333527447211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55721852} λ = -0.55721852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41333527447211))-π/2
    2×atan(11.1711579577542)-π/2
    2×1.48151805136876-π/2
    2.96303610273751-1.57079632675     		φ = 1.39223978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55721852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.926269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39223978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.769463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53912 KachelY 15192 -0.55721852 1.39223978 -31.926269 79.769463
    Oben rechts KachelX + 1 53913 KachelY 15192 -0.55717058 1.39223978 -31.923523 79.769463
    Unten links KachelX 53912 KachelY + 1 15193 -0.55721852 1.39223126 -31.926269 79.768975
    Unten rechts KachelX + 1 53913 KachelY + 1 15193 -0.55717058 1.39223126 -31.923523 79.768975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39223978-1.39223126) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dl = 54.2809199997218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39223978-1.39223126) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dr = 54.2809199997218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55721852--0.55717058) × cos(1.39223978) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.177609255078161 × 6371000     		do = 54.2464381631861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55721852--0.55717058) × cos(1.39223126) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.177617639612989 × 6371000     		du = 54.2489990159405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39223978)-sin(1.39223126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177609255078161-0.177617639612989)×R²
    abs(-0.55717058--0.55721852)×8.38453482804313e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.38453482804313e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.38453482804313e-06×40589641000000     		ar = 2944.61607294322m²