Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53911 / 18641
↖ ↑ ↗
← N 77.942664°
W 31.929016°		 ← 63.80 m → N 77.942664°
W 31.926269°		 →
↑
63.77 m
↓
↑
63.77 m
↓
N 77.942091°
W 31.929016°		 ← 63.80 m →
4 069 m²		 N 77.942091°
W 31.926269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411312103271484 y=0.142223358154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411312103271484 × 217)
    floor (0.411312103271484 × 131072)
    floor (53911.5)     		tx = 53911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142223358154297 × 217)
    floor (0.142223358154297 × 131072)
    floor (18641.5)     		ty = 18641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53911 / 18641 ti = "17/53911/18641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53911/18641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53911 ÷ 217
    53911 ÷ 131072     		x = 0.411308288574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18641 ÷ 217
    18641 ÷ 131072     		y = 0.142219543457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411308288574219 × 2 - 1) × π
    -0.177383422851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.55726646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142219543457031 × 2 - 1) × π
    0.715560913085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.24800090768253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55726646} λ = -0.55726646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24800090768253))-π/2
    2×atan(9.468787922163)-π/2
    2×1.46557622280252-π/2
    2.93115244560505-1.57079632675     		φ = 1.36035612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55726646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.929016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36035612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.942664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53911 KachelY 18641 -0.55726646 1.36035612 -31.929016 77.942664
    Oben rechts KachelX + 1 53912 KachelY 18641 -0.55721852 1.36035612 -31.926269 77.942664
    Unten links KachelX 53911 KachelY + 1 18642 -0.55726646 1.36034611 -31.929016 77.942091
    Unten rechts KachelX + 1 53912 KachelY + 1 18642 -0.55721852 1.36034611 -31.926269 77.942091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36035612-1.36034611) × R
    1.00100000000047e-05 × 6371000     		dl = 63.7737100000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36035612-1.36034611) × R
    1.00100000000047e-05 × 6371000     		dr = 63.7737100000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55726646--0.55721852) × cos(1.36035612) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208890415488585 × 6371000     		do = 63.8005097294667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55726646--0.55721852) × cos(1.36034611) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208900204648055 × 6371000     		du = 63.8034995907418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36035612)-sin(1.36034611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208890415488585-0.208900204648055)×R²
    abs(-0.55721852--0.55726646)×9.78915946997505e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.78915946997505e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.78915946997505e-06×40589641000000     		ar = 4068.89054272571m²