Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5391 / 2289
↖ ↑ ↗
← N 82.330916°
W120.772705°		 ← 163.03 m → N 82.330916°
W120.761719°		 →
↑
163.03 m
↓
↑
163.03 m
↓
N 82.329450°
W120.772705°		 ← 163.06 m →
26 582 m²		 N 82.329450°
W120.761719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164535522460938 y=0.0698699951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164535522460938 × 215)
    floor (0.164535522460938 × 32768)
    floor (5391.5)     		tx = 5391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0698699951171875 × 215)
    floor (0.0698699951171875 × 32768)
    floor (2289.5)     		ty = 2289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5391 / 2289 ti = "15/5391/2289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5391/2289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5391 ÷ 215
    5391 ÷ 32768     		x = 0.164520263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2289 ÷ 215
    2289 ÷ 32768     		y = 0.069854736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.164520263671875 × 2 - 1) × π
    -0.67095947265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.10788135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.069854736328125 × 2 - 1) × π
    0.86029052734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.70268240057877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10788135} λ = -2.10788135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.70268240057877))-π/2
    2×atan(14.9196987056252)-π/2
    2×1.50387094368908-π/2
    3.00774188737817-1.57079632675     		φ = 1.43694556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10788135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.772705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43694556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.330916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5391 KachelY 2289 -2.10788135 1.43694556 -120.772705 82.330916
    Oben rechts KachelX + 1 5392 KachelY 2289 -2.10768960 1.43694556 -120.761719 82.330916
    Unten links KachelX 5391 KachelY + 1 2290 -2.10788135 1.43691997 -120.772705 82.329450
    Unten rechts KachelX + 1 5392 KachelY + 1 2290 -2.10768960 1.43691997 -120.761719 82.329450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43694556-1.43691997) × R
    2.55900000001308e-05 × 6371000     		dl = 163.033890000833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43694556-1.43691997) × R
    2.55900000001308e-05 × 6371000     		dr = 163.033890000833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10788135--2.10768960) × cos(1.43694556) × R
    0.000191749999999935 × 0.133451445666028 × 6371000     		do = 163.029523994807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10788135--2.10768960) × cos(1.43691997) × R
    0.000191749999999935 × 0.1334768067288 × 6371000     		du = 163.060506064511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43694556)-sin(1.43691997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133451445666028-0.1334768067288)×R²
    abs(-2.10768960--2.10788135)×2.53610627717338e-05×R²
    0.000191749999999935×2.53610627717338e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.53610627717338e-05×40589641000000     		ar = 26581.8630466623m²