Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53909 / 13392
↖ ↑ ↗
← N 80.611258°
W 31.934509°		 ← 49.82 m → N 80.611258°
W 31.931762°		 →
↑
49.82 m
↓
↑
49.82 m
↓
N 80.610810°
W 31.934509°		 ← 49.83 m →
2 482 m²		 N 80.610810°
W 31.931762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411296844482422 y=0.102176666259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411296844482422 × 217)
    floor (0.411296844482422 × 131072)
    floor (53909.5)     		tx = 53909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102176666259766 × 217)
    floor (0.102176666259766 × 131072)
    floor (13392.5)     		ty = 13392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53909 / 13392 ti = "17/53909/13392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53909/13392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53909 ÷ 217
    53909 ÷ 131072     		x = 0.411293029785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13392 ÷ 217
    13392 ÷ 131072     		y = 0.1021728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411293029785156 × 2 - 1) × π
    -0.177413940429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.55736233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1021728515625 × 2 - 1) × π
    0.795654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.49962169378821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55736233} λ = -0.55736233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49962169378821))-π/2
    2×atan(12.1778861192055)-π/2
    2×1.48886409667842-π/2
    2.97772819335683-1.57079632675     		φ = 1.40693187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55736233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.934509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40693187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.611258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53909 KachelY 13392 -0.55736233 1.40693187 -31.934509 80.611258
    Oben rechts KachelX + 1 53910 KachelY 13392 -0.55731439 1.40693187 -31.931762 80.611258
    Unten links KachelX 53909 KachelY + 1 13393 -0.55736233 1.40692405 -31.934509 80.610810
    Unten rechts KachelX + 1 53910 KachelY + 1 13393 -0.55731439 1.40692405 -31.931762 80.610810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40693187-1.40692405) × R
    7.81999999999172e-06 × 6371000     		dl = 49.8212199999473m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40693187-1.40692405) × R
    7.81999999999172e-06 × 6371000     		dr = 49.8212199999473m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55736233--0.55731439) × cos(1.40693187) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163132104672143 × 6371000     		do = 49.824743787214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55736233--0.55731439) × cos(1.40692405) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163139819912272 × 6371000     		du = 49.8271002201398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40693187)-sin(1.40692405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163132104672143-0.163139819912272)×R²
    abs(-0.55731439--0.55736233)×7.71524012926905e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.71524012926905e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.71524012926905e-06×40589641000000     		ar = 2482.38822171792m²