Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53908 / 13393
↖ ↑ ↗
← N 80.610810°
W 31.937256°		 ← 49.83 m → N 80.610810°
W 31.934509°		 →
↑
49.82 m
↓
↑
49.82 m
↓
N 80.610362°
W 31.937256°		 ← 49.83 m →
2 483 m²		 N 80.610362°
W 31.934509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411289215087891 y=0.102184295654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411289215087891 × 217)
    floor (0.411289215087891 × 131072)
    floor (53908.5)     		tx = 53908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102184295654297 × 217)
    floor (0.102184295654297 × 131072)
    floor (13393.5)     		ty = 13393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53908 / 13393 ti = "17/53908/13393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53908/13393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53908 ÷ 217
    53908 ÷ 131072     		x = 0.411285400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13393 ÷ 217
    13393 ÷ 131072     		y = 0.102180480957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411285400390625 × 2 - 1) × π
    -0.17742919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55741027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102180480957031 × 2 - 1) × π
    0.795639038085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.49957375688859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55741027} λ = -0.55741027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49957375688859))-π/2
    2×atan(12.1773023630929)-π/2
    2×1.48886018656221-π/2
    2.97772037312442-1.57079632675     		φ = 1.40692405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55741027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.937256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40692405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.610810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53908 KachelY 13393 -0.55741027 1.40692405 -31.937256 80.610810
    Oben rechts KachelX + 1 53909 KachelY 13393 -0.55736233 1.40692405 -31.934509 80.610810
    Unten links KachelX 53908 KachelY + 1 13394 -0.55741027 1.40691623 -31.937256 80.610362
    Unten rechts KachelX + 1 53909 KachelY + 1 13394 -0.55736233 1.40691623 -31.934509 80.610362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40692405-1.40691623) × R
    7.81999999999172e-06 × 6371000     		dl = 49.8212199999473m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40692405-1.40691623) × R
    7.81999999999172e-06 × 6371000     		dr = 49.8212199999473m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55741027--0.55736233) × cos(1.40692405) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163139819912272 × 6371000     		do = 49.8271002201398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55741027--0.55736233) × cos(1.40691623) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163147535142425 × 6371000     		du = 49.8294566500185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40692405)-sin(1.40691623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163139819912272-0.163147535142425)×R²
    abs(-0.55736233--0.55741027)×7.71523015288822e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.71523015288822e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.71523015288822e-06×40589641000000     		ar = 2482.50562230706m²