Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53906 / 20873
↖ ↑ ↗
← N 54.543393°
E116.114502°		 ← 354.31 m → N 54.543393°
E116.119995°		 →
↑
354.36 m
↓
↑
354.36 m
↓
N 54.540207°
E116.114502°		 ← 354.34 m →
125 556 m²		 N 54.540207°
E116.119995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822547912597656 y=0.318504333496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822547912597656 × 216)
    floor (0.822547912597656 × 65536)
    floor (53906.5)     		tx = 53906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318504333496094 × 216)
    floor (0.318504333496094 × 65536)
    floor (20873.5)     		ty = 20873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53906 / 20873 ti = "16/53906/20873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53906/20873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53906 ÷ 216
    53906 ÷ 65536     		x = 0.822540283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20873 ÷ 216
    20873 ÷ 65536     		y = 0.318496704101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822540283203125 × 2 - 1) × π
    0.64508056640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02658037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318496704101562 × 2 - 1) × π
    0.363006591796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.14041884196114
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02658037} λ = 2.02658037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14041884196114))-π/2
    2×atan(3.12807826128082)-π/2
    2×1.26137906126214-π/2
    2.52275812252429-1.57079632675     		φ = 0.95196180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02658037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.114502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95196180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.543393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53906 KachelY 20873 2.02658037 0.95196180 116.114502 54.543393
    Oben rechts KachelX + 1 53907 KachelY 20873 2.02667624 0.95196180 116.119995 54.543393
    Unten links KachelX 53906 KachelY + 1 20874 2.02658037 0.95190618 116.114502 54.540207
    Unten rechts KachelX + 1 53907 KachelY + 1 20874 2.02667624 0.95190618 116.119995 54.540207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95196180-0.95190618) × R
    5.5619999999923e-05 × 6371000     		dl = 354.355019999509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95196180-0.95190618) × R
    5.5619999999923e-05 × 6371000     		dr = 354.355019999509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02658037-2.02667624) × cos(0.95196180) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.580086212600536 × 6371000     		do = 354.30956420202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02658037-2.02667624) × cos(0.95190618) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.580131517257049 × 6371000     		du = 354.337235732142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95196180)-sin(0.95190618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580086212600536-0.580131517257049)×R²
    abs(2.02667624-2.02658037)×4.53046565127568e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.53046565127568e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.53046565127568e-05×40589641000000     		ar = 125556.275514088m²