Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53905 / 13809
↖ ↑ ↗
← N 80.422564°
W 31.945496°		 ← 50.82 m → N 80.422564°
W 31.942749°		 →
↑
50.78 m
↓
↑
50.78 m
↓
N 80.422108°
W 31.945496°		 ← 50.82 m →
2 580 m²		 N 80.422108°
W 31.942749°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411266326904297 y=0.105358123779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411266326904297 × 217)
    floor (0.411266326904297 × 131072)
    floor (53905.5)     		tx = 53905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105358123779297 × 217)
    floor (0.105358123779297 × 131072)
    floor (13809.5)     		ty = 13809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53905 / 13809 ti = "17/53905/13809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53905/13809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53905 ÷ 217
    53905 ÷ 131072     		x = 0.411262512207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13809 ÷ 217
    13809 ÷ 131072     		y = 0.105354309082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411262512207031 × 2 - 1) × π
    -0.177474975585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.55755408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105354309082031 × 2 - 1) × π
    0.789291381835938 × 3.1415926535     		Φ = 2.47963200664664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55755408} λ = -0.55755408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47963200664664))-π/2
    2×atan(11.9368709203512)-π/2
    2×1.48721743542992-π/2
    2.97443487085984-1.57079632675     		φ = 1.40363854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55755408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.945496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40363854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.422564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53905 KachelY 13809 -0.55755408 1.40363854 -31.945496 80.422564
    Oben rechts KachelX + 1 53906 KachelY 13809 -0.55750614 1.40363854 -31.942749 80.422564
    Unten links KachelX 53905 KachelY + 1 13810 -0.55755408 1.40363057 -31.945496 80.422108
    Unten rechts KachelX + 1 53906 KachelY + 1 13810 -0.55750614 1.40363057 -31.942749 80.422108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40363854-1.40363057) × R
    7.96999999996828e-06 × 6371000     		dl = 50.7768699997979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40363854-1.40363057) × R
    7.96999999996828e-06 × 6371000     		dr = 50.7768699997979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55755408--0.55750614) × cos(1.40363854) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166380427457295 × 6371000     		do = 50.8168651776274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55755408--0.55750614) × cos(1.40363057) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166388286363263 × 6371000     		du = 50.8192654897983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40363854)-sin(1.40363057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166380427457295-0.166388286363263)×R²
    abs(-0.55750614--0.55755408)×7.85890596810557e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.85890596810557e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.85890596810557e-06×40589641000000     		ar = 2580.3822969209m²