Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53902 / 13891
↖ ↑ ↗
← N 80.385020°
W 31.953735°		 ← 51.01 m → N 80.385020°
W 31.950989°		 →
↑
50.97 m
↓
↑
50.97 m
↓
N 80.384561°
W 31.953735°		 ← 51.02 m →
2 600 m²		 N 80.384561°
W 31.950989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411243438720703 y=0.105983734130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411243438720703 × 217)
    floor (0.411243438720703 × 131072)
    floor (53902.5)     		tx = 53902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105983734130859 × 217)
    floor (0.105983734130859 × 131072)
    floor (13891.5)     		ty = 13891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53902 / 13891 ti = "17/53902/13891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53902/13891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53902 ÷ 217
    53902 ÷ 131072     		x = 0.411239624023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13891 ÷ 217
    13891 ÷ 131072     		y = 0.105979919433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411239624023438 × 2 - 1) × π
    -0.177520751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55769789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105979919433594 × 2 - 1) × π
    0.788040161132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.4757011808778
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55769789} λ = -0.55769789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4757011808778))-π/2
    2×atan(11.8900412604536)-π/2
    2×1.48688979466175-π/2
    2.97377958932349-1.57079632675     		φ = 1.40298326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55769789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.953735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40298326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.385020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53902 KachelY 13891 -0.55769789 1.40298326 -31.953735 80.385020
    Oben rechts KachelX + 1 53903 KachelY 13891 -0.55764995 1.40298326 -31.950989 80.385020
    Unten links KachelX 53902 KachelY + 1 13892 -0.55769789 1.40297526 -31.953735 80.384561
    Unten rechts KachelX + 1 53903 KachelY + 1 13892 -0.55764995 1.40297526 -31.950989 80.384561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40298326-1.40297526) × R
    8.000000000008e-06 × 6371000     		dl = 50.968000000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40298326-1.40297526) × R
    8.000000000008e-06 × 6371000     		dr = 50.968000000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55769789--0.55764995) × cos(1.40298326) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.16702653815981 × 6371000     		do = 51.0142040171829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55769789--0.55764995) × cos(1.40297526) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.167034425773667 × 6371000     		du = 51.016613097482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40298326)-sin(1.40297526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16702653815981-0.167034425773667)×R²
    abs(-0.55764995--0.55769789)×7.88761385703274e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.88761385703274e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.88761385703274e-06×40589641000000     		ar = 2600.1533434541m²