Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53901 / 20847
↖ ↑ ↗
← N 54.626158°
E116.087036°		 ← 353.59 m → N 54.626158°
E116.092529°		 →
↑
353.59 m
↓
↑
353.59 m
↓
N 54.622978°
E116.087036°		 ← 353.62 m →
125 031 m²		 N 54.622978°
E116.092529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822471618652344 y=0.318107604980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822471618652344 × 216)
    floor (0.822471618652344 × 65536)
    floor (53901.5)     		tx = 53901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318107604980469 × 216)
    floor (0.318107604980469 × 65536)
    floor (20847.5)     		ty = 20847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53901 / 20847 ti = "16/53901/20847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53901/20847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53901 ÷ 216
    53901 ÷ 65536     		x = 0.822463989257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20847 ÷ 216
    20847 ÷ 65536     		y = 0.318099975585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822463989257812 × 2 - 1) × π
    0.644927978515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02610100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318099975585938 × 2 - 1) × π
    0.363800048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.14291156074138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02610100} λ = 2.02610100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14291156074138))-π/2
    2×atan(3.13588540717581)-π/2
    2×1.2621013234039-π/2
    2.52420264680781-1.57079632675     		φ = 0.95340632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02610100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.087036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95340632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.626158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53901 KachelY 20847 2.02610100 0.95340632 116.087036 54.626158
    Oben rechts KachelX + 1 53902 KachelY 20847 2.02619687 0.95340632 116.092529 54.626158
    Unten links KachelX 53901 KachelY + 1 20848 2.02610100 0.95335082 116.087036 54.622978
    Unten rechts KachelX + 1 53902 KachelY + 1 20848 2.02619687 0.95335082 116.092529 54.622978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95340632-0.95335082) × R
    5.54999999999861e-05 × 6371000     		dl = 353.590499999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95340632-0.95335082) × R
    5.54999999999861e-05 × 6371000     		dr = 353.590499999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02610100-2.02619687) × cos(0.95340632) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.578908966683972 × 6371000     		do = 353.5905167939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02610100-2.02619687) × cos(0.95335082) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.578954220058383 × 6371000     		du = 353.618157001542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95340632)-sin(0.95335082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578908966683972-0.578954220058383)×R²
    abs(2.02619687-2.02610100)×4.52533744116357e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.52533744116357e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.52533744116357e-05×40589641000000     		ar = 125031.134317839m²