Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53901 / 18636
↖ ↑ ↗
← N 77.945533°
W 31.956482°		 ← 63.79 m → N 77.945533°
W 31.953735°		 →
↑
63.77 m
↓
↑
63.77 m
↓
N 77.944959°
W 31.956482°		 ← 63.79 m →
4 068 m²		 N 77.944959°
W 31.953735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411235809326172 y=0.142185211181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411235809326172 × 217)
    floor (0.411235809326172 × 131072)
    floor (53901.5)     		tx = 53901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142185211181641 × 217)
    floor (0.142185211181641 × 131072)
    floor (18636.5)     		ty = 18636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53901 / 18636 ti = "17/53901/18636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53901/18636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53901 ÷ 217
    53901 ÷ 131072     		x = 0.411231994628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18636 ÷ 217
    18636 ÷ 131072     		y = 0.142181396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411231994628906 × 2 - 1) × π
    -0.177536010742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.55774583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142181396484375 × 2 - 1) × π
    0.71563720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24824059218063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55774583} λ = -0.55774583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24824059218063))-π/2
    2×atan(9.47105771585005)-π/2
    2×1.46560125376615-π/2
    2.93120250753229-1.57079632675     		φ = 1.36040618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55774583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.956482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36040618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.945533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53901 KachelY 18636 -0.55774583 1.36040618 -31.956482 77.945533
    Oben rechts KachelX + 1 53902 KachelY 18636 -0.55769789 1.36040618 -31.953735 77.945533
    Unten links KachelX 53901 KachelY + 1 18637 -0.55774583 1.36039617 -31.956482 77.944959
    Unten rechts KachelX + 1 53902 KachelY + 1 18637 -0.55769789 1.36039617 -31.953735 77.944959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36040618-1.36039617) × R
    1.00100000000047e-05 × 6371000     		dl = 63.7737100000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36040618-1.36039617) × R
    1.00100000000047e-05 × 6371000     		dr = 63.7737100000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55774583--0.55769789) × cos(1.36040618) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208841459597797 × 6371000     		do = 63.7855573402954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55774583--0.55769789) × cos(1.36039617) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208851248861932 × 6371000     		du = 63.788547233538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36040618)-sin(1.36039617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208841459597797-0.208851248861932)×R²
    abs(-0.55769789--0.55774583)×9.7892641352515e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.7892641352515e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.7892641352515e-06×40589641000000     		ar = 4067.93697429897m²