Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53900 / 20875
↖ ↑ ↗
← N 54.537020°
E116.081543°		 ← 354.36 m → N 54.537020°
E116.087036°		 →
↑
354.42 m
↓
↑
354.42 m
↓
N 54.533832°
E116.081543°		 ← 354.39 m →
125 598 m²		 N 54.533832°
E116.087036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822456359863281 y=0.318534851074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822456359863281 × 216)
    floor (0.822456359863281 × 65536)
    floor (53900.5)     		tx = 53900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318534851074219 × 216)
    floor (0.318534851074219 × 65536)
    floor (20875.5)     		ty = 20875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53900 / 20875 ti = "16/53900/20875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53900/20875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53900 ÷ 216
    53900 ÷ 65536     		x = 0.82244873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20875 ÷ 216
    20875 ÷ 65536     		y = 0.318527221679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82244873046875 × 2 - 1) × π
    0.6448974609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02600513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318527221679688 × 2 - 1) × π
    0.362945556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.14022709436266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02600513} λ = 2.02600513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14022709436266))-π/2
    2×atan(3.12747851728794)-π/2
    2×1.26132344184938-π/2
    2.52264688369876-1.57079632675     		φ = 0.95185056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02600513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.081543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95185056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.537020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53900 KachelY 20875 2.02600513 0.95185056 116.081543 54.537020
    Oben rechts KachelX + 1 53901 KachelY 20875 2.02610100 0.95185056 116.087036 54.537020
    Unten links KachelX 53900 KachelY + 1 20876 2.02600513 0.95179493 116.081543 54.533832
    Unten rechts KachelX + 1 53901 KachelY + 1 20876 2.02610100 0.95179493 116.087036 54.533832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95185056-0.95179493) × R
    5.56299999999732e-05 × 6371000     		dl = 354.418729999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95185056-0.95179493) × R
    5.56299999999732e-05 × 6371000     		dr = 354.418729999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02600513-2.02610100) × cos(0.95185056) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.580176820118876 × 6371000     		do = 354.364906166092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02600513-2.02610100) × cos(0.95179493) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.58022212933046 × 6371000     		du = 354.392580478396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95185056)-sin(0.95179493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580176820118876-0.58022212933046)×R²
    abs(2.02610100-2.02600513)×4.53092115838549e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.53092115838549e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.53092115838549e-05×40589641000000     		ar = 125598.464179729m²