Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 539 / 243
↖ ↑ ↗
← N 82.820504°
W132.626953°		 ← 1 221.41 m → N 82.820504°
W132.539063°		 →
↑
1 222.34 m
↓
↑
1 222.34 m
↓
N 82.809512°
W132.626953°		 ← 1 223.27 m →
1 494 115 m²		 N 82.809512°
W132.539063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1317138671875 y=0.0594482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1317138671875 × 212)
    floor (0.1317138671875 × 4096)
    floor (539.5)     		tx = 539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0594482421875 × 212)
    floor (0.0594482421875 × 4096)
    floor (243.5)     		ty = 243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 539 / 243 ti = "12/539/243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/539/243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 539 ÷ 212
    539 ÷ 4096     		x = 0.131591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 243 ÷ 212
    243 ÷ 4096     		y = 0.059326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.131591796875 × 2 - 1) × π
    -0.73681640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.31477701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.059326171875 × 2 - 1) × π
    0.88134765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.76883532205444
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31477701} λ = -2.31477701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.76883532205444))-π/2
    2×atan(15.9400581602626)-π/2
    2×1.50814340642248-π/2
    3.01628681284497-1.57079632675     		φ = 1.44549049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31477701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.626953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44549049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.820504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 539 KachelY 243 -2.31477701 1.44549049 -132.626953 82.820504
    Oben rechts KachelX + 1 540 KachelY 243 -2.31324303 1.44549049 -132.539063 82.820504
    Unten links KachelX 539 KachelY + 1 244 -2.31477701 1.44529863 -132.626953 82.809512
    Unten rechts KachelX + 1 540 KachelY + 1 244 -2.31324303 1.44529863 -132.539063 82.809512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44549049-1.44529863) × R
    0.000191860000000155 × 6371000     		dl = 1222.34006000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44549049-1.44529863) × R
    0.000191860000000155 × 6371000     		dr = 1222.34006000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31477701--2.31324303) × cos(1.44549049) × R
    0.0015339799999996 × 0.124978178104149 × 6371000     		do = 1221.41005740438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31477701--2.31324303) × cos(1.44529863) × R
    0.0015339799999996 × 0.125168531522629 × 6371000     		du = 1223.27037880864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44549049)-sin(1.44529863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.124978178104149-0.125168531522629)×R²
    abs(-2.31324303--2.31477701)×0.000190353418479561×R²
    0.0015339799999996×0.000190353418479561×6371000²
    0.0015339799999996×0.000190353418479561×40589641000000     		ar = 1494115.42012686m²