Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 539 / 154
↖ ↑ ↗
← N 82.070028°
W 85.253906°		 ← 2 696.61 m → N 82.070028°
W 85.078125°		 →
↑
2 700.73 m
↓
↑
2 700.73 m
↓
N 82.045740°
W 85.253906°		 ← 2 704.82 m →
7 293 911 m²		 N 82.045740°
W 85.078125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.263427734375 y=0.075439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.263427734375 × 211)
    floor (0.263427734375 × 2048)
    floor (539.5)     		tx = 539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.075439453125 × 211)
    floor (0.075439453125 × 2048)
    floor (154.5)     		ty = 154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 539 / 154 ti = "11/539/154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/539/154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 539 ÷ 211
    539 ÷ 2048     		x = 0.26318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 154 ÷ 211
    154 ÷ 2048     		y = 0.0751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26318359375 × 2 - 1) × π
    -0.4736328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.48796136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0751953125 × 2 - 1) × π
    0.849609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.66912657084473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.48796136} λ = -1.48796136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.66912657084473))-π/2
    2×atan(14.4273624090763)-π/2
    2×1.50159426799134-π/2
    3.00318853598267-1.57079632675     		φ = 1.43239221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.48796136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.253906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43239221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.070028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 539 KachelY 154 -1.48796136 1.43239221 -85.253906 82.070028
    Oben rechts KachelX + 1 540 KachelY 154 -1.48489340 1.43239221 -85.078125 82.070028
    Unten links KachelX 539 KachelY + 1 155 -1.48796136 1.43196830 -85.253906 82.045740
    Unten rechts KachelX + 1 540 KachelY + 1 155 -1.48489340 1.43196830 -85.078125 82.045740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43239221-1.43196830) × R
    0.000423909999999861 × 6371000     		dl = 2700.73060999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43239221-1.43196830) × R
    0.000423909999999861 × 6371000     		dr = 2700.73060999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.48796136--1.48489340) × cos(1.43239221) × R
    0.00306795999999987 × 0.13796266854006 × 6371000     		do = 2696.61461636588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.48796136--1.48489340) × cos(1.43196830) × R
    0.00306795999999987 × 0.138382512462372 × 6371000     		du = 2704.82087440278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43239221)-sin(1.43196830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.13796266854006-0.138382512462372)×R²
    abs(-1.48489340--1.48796136)×0.000419843922312091×R²
    0.00306795999999987×0.000419843922312091×6371000²
    0.00306795999999987×0.000419843922312091×40589641000000     		ar = 7293911.19315084m²