Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53899 / 20869
↖ ↑ ↗
← N 54.556137°
E116.076050°		 ← 354.24 m → N 54.556137°
E116.081543°		 →
↑
354.23 m
↓
↑
354.23 m
↓
N 54.552951°
E116.076050°		 ← 354.26 m →
125 485 m²		 N 54.552951°
E116.081543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822441101074219 y=0.318443298339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822441101074219 × 216)
    floor (0.822441101074219 × 65536)
    floor (53899.5)     		tx = 53899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318443298339844 × 216)
    floor (0.318443298339844 × 65536)
    floor (20869.5)     		ty = 20869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53899 / 20869 ti = "16/53899/20869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53899/20869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53899 ÷ 216
    53899 ÷ 65536     		x = 0.822433471679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20869 ÷ 216
    20869 ÷ 65536     		y = 0.318435668945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822433471679688 × 2 - 1) × π
    0.644866943359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02590925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318435668945312 × 2 - 1) × π
    0.363128662109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1408023371581
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02590925} λ = 2.02590925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1408023371581))-π/2
    2×atan(3.12927809432014)-π/2
    2×1.26149027402896-π/2
    2.52298054805792-1.57079632675     		φ = 0.95218422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02590925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.076050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95218422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.556137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53899 KachelY 20869 2.02590925 0.95218422 116.076050 54.556137
    Oben rechts KachelX + 1 53900 KachelY 20869 2.02600513 0.95218422 116.081543 54.556137
    Unten links KachelX 53899 KachelY + 1 20870 2.02590925 0.95212862 116.076050 54.552951
    Unten rechts KachelX + 1 53900 KachelY + 1 20870 2.02600513 0.95212862 116.081543 54.552951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95218422-0.95212862) × R
    5.56000000000445e-05 × 6371000     		dl = 354.227600000284m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95218422-0.95212862) × R
    5.56000000000445e-05 × 6371000     		dr = 354.227600000284m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02590925-2.02600513) × cos(0.95218422) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.579905024911477 × 6371000     		do = 354.23584272638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02590925-2.02600513) × cos(0.95212862) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.579950320450359 × 6371000     		du = 354.263511573344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95218422)-sin(0.95212862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579905024911477-0.579950320450359)×R²
    abs(2.02600513-2.02590925)×4.52955388823284e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.52955388823284e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.52955388823284e-05×40589641000000     		ar = 125485.012969827m²