Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53898 / 18699
↖ ↑ ↗
← N 77.909342°
W 31.964722°		 ← 63.97 m → N 77.909342°
W 31.961975°		 →
↑
63.96 m
↓
↑
63.96 m
↓
N 77.908767°
W 31.964722°		 ← 63.98 m →
4 092 m²		 N 77.908767°
W 31.961975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411212921142578 y=0.142665863037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411212921142578 × 217)
    floor (0.411212921142578 × 131072)
    floor (53898.5)     		tx = 53898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142665863037109 × 217)
    floor (0.142665863037109 × 131072)
    floor (18699.5)     		ty = 18699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53898 / 18699 ti = "17/53898/18699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53898/18699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53898 ÷ 217
    53898 ÷ 131072     		x = 0.411209106445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18699 ÷ 217
    18699 ÷ 131072     		y = 0.142662048339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411209106445312 × 2 - 1) × π
    -0.177581787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55788964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142662048339844 × 2 - 1) × π
    0.714675903320312 × 3.1415926535     		Φ = 2.24522056750457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55788964} λ = -0.55788964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24522056750457))-π/2
    2×atan(9.44249803501685)-π/2
    2×1.46528543446171-π/2
    2.93057086892341-1.57079632675     		φ = 1.35977454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55788964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.964722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35977454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.909342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53898 KachelY 18699 -0.55788964 1.35977454 -31.964722 77.909342
    Oben rechts KachelX + 1 53899 KachelY 18699 -0.55784170 1.35977454 -31.961975 77.909342
    Unten links KachelX 53898 KachelY + 1 18700 -0.55788964 1.35976450 -31.964722 77.908767
    Unten rechts KachelX + 1 53899 KachelY + 1 18700 -0.55784170 1.35976450 -31.961975 77.908767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35977454-1.35976450) × R
    1.00400000000445e-05 × 6371000     		dl = 63.9648400002832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35977454-1.35976450) × R
    1.00400000000445e-05 × 6371000     		dr = 63.9648400002832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55788964--0.55784170) × cos(1.35977454) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209459129924784 × 6371000     		do = 63.9742097569915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55788964--0.55784170) × cos(1.35976450) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20946894720095 × 6371000     		du = 63.9772082058291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35977454)-sin(1.35976450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209459129924784-0.20946894720095)×R²
    abs(-0.55784170--0.55788964)×9.81727616539141e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.81727616539141e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.81727616539141e-06×40589641000000     		ar = 4092.19598895452m²