Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53897 / 23177
↖ ↑ ↗
← N 46.524855°
E116.065063°		 ← 420.29 m → N 46.524855°
E116.070557°		 →
↑
420.29 m
↓
↑
420.29 m
↓
N 46.521076°
E116.065063°		 ← 420.32 m →
176 652 m²		 N 46.521076°
E116.070557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822410583496094 y=0.353660583496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822410583496094 × 216)
    floor (0.822410583496094 × 65536)
    floor (53897.5)     		tx = 53897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353660583496094 × 216)
    floor (0.353660583496094 × 65536)
    floor (23177.5)     		ty = 23177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53897 / 23177 ti = "16/53897/23177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53897/23177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53897 ÷ 216
    53897 ÷ 65536     		x = 0.822402954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23177 ÷ 216
    23177 ÷ 65536     		y = 0.353652954101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822402954101562 × 2 - 1) × π
    0.644805908203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02571750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353652954101562 × 2 - 1) × π
    0.292694091796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.919525608511917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02571750} λ = 2.02571750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.919525608511917))-π/2
    2×atan(2.50810028624403)-π/2
    2×1.19140411798416-π/2
    2.38280823596832-1.57079632675     		φ = 0.81201191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02571750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.065063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81201191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.524855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53897 KachelY 23177 2.02571750 0.81201191 116.065063 46.524855
    Oben rechts KachelX + 1 53898 KachelY 23177 2.02581338 0.81201191 116.070557 46.524855
    Unten links KachelX 53897 KachelY + 1 23178 2.02571750 0.81194594 116.065063 46.521076
    Unten rechts KachelX + 1 53898 KachelY + 1 23178 2.02581338 0.81194594 116.070557 46.521076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81201191-0.81194594) × R
    6.59699999999708e-05 × 6371000     		dl = 420.294869999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81201191-0.81194594) × R
    6.59699999999708e-05 × 6371000     		dr = 420.294869999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02571750-2.02581338) × cos(0.81201191) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.688039837856682 × 6371000     		do = 420.290153255385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02571750-2.02581338) × cos(0.81194594) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.68808770900175 × 6371000     		du = 420.319395415199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81201191)-sin(0.81194594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688039837856682-0.68808770900175)×R²
    abs(2.02581338-2.02571750)×4.78711450679903e-05×R²
    9.58800000003812e-05×4.78711450679903e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×4.78711450679903e-05×40589641000000     		ar = 176651.940553572m²