Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53896 / 23176
↖ ↑ ↗
← N 46.528635°
E116.059570°		 ← 420.22 m → N 46.528635°
E116.065063°		 →
↑
420.23 m
↓
↑
420.23 m
↓
N 46.524855°
E116.059570°		 ← 420.25 m →
176 594 m²		 N 46.524855°
E116.065063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822395324707031 y=0.353645324707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822395324707031 × 216)
    floor (0.822395324707031 × 65536)
    floor (53896.5)     		tx = 53896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353645324707031 × 216)
    floor (0.353645324707031 × 65536)
    floor (23176.5)     		ty = 23176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53896 / 23176 ti = "16/53896/23176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53896/23176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53896 ÷ 216
    53896 ÷ 65536     		x = 0.8223876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23176 ÷ 216
    23176 ÷ 65536     		y = 0.3536376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8223876953125 × 2 - 1) × π
    0.644775390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02562163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3536376953125 × 2 - 1) × π
    0.292724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.919621482311157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02562163} λ = 2.02562163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.919621482311157))-π/2
    2×atan(2.50834075887468)-π/2
    2×1.19143709933349-π/2
    2.38287419866697-1.57079632675     		φ = 0.81207787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02562163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.059570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81207787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.528635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53896 KachelY 23176 2.02562163 0.81207787 116.059570 46.528635
    Oben rechts KachelX + 1 53897 KachelY 23176 2.02571750 0.81207787 116.065063 46.528635
    Unten links KachelX 53896 KachelY + 1 23177 2.02562163 0.81201191 116.059570 46.524855
    Unten rechts KachelX + 1 53897 KachelY + 1 23177 2.02571750 0.81201191 116.065063 46.524855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81207787-0.81201191) × R
    6.59600000000315e-05 × 6371000     		dl = 420.231160000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81207787-0.81201191) × R
    6.59600000000315e-05 × 6371000     		dr = 420.231160000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02562163-2.02571750) × cos(0.81207787) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.687991970974419 × 6371000     		do = 420.217081729361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02562163-2.02571750) × cos(0.81201191) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.688039837856682 × 6371000     		du = 420.246318235635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81207787)-sin(0.81201191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687991970974419-0.688039837856682)×R²
    abs(2.02571750-2.02562163)×4.78668822625483e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78668822625483e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78668822625483e-05×40589641000000     		ar = 176594.454816594m²