Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53896 / 13880
↖ ↑ ↗
← N 80.390064°
W 31.970215°		 ← 50.99 m → N 80.390064°
W 31.967468°		 →
↑
50.97 m
↓
↑
50.97 m
↓
N 80.389606°
W 31.970215°		 ← 50.99 m →
2 599 m²		 N 80.389606°
W 31.967468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411197662353516 y=0.105899810791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411197662353516 × 217)
    floor (0.411197662353516 × 131072)
    floor (53896.5)     		tx = 53896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105899810791016 × 217)
    floor (0.105899810791016 × 131072)
    floor (13880.5)     		ty = 13880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53896 / 13880 ti = "17/53896/13880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53896/13880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53896 ÷ 217
    53896 ÷ 131072     		x = 0.41119384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13880 ÷ 217
    13880 ÷ 131072     		y = 0.10589599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41119384765625 × 2 - 1) × π
    -0.1776123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55798551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10589599609375 × 2 - 1) × π
    0.7882080078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.47622848677362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55798551} λ = -0.55798551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47622848677362))-π/2
    2×atan(11.8963126026244)-π/2
    2×1.48693382025479-π/2
    2.97386764050957-1.57079632675     		φ = 1.40307131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55798551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.970215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40307131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.390064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53896 KachelY 13880 -0.55798551 1.40307131 -31.970215 80.390064
    Oben rechts KachelX + 1 53897 KachelY 13880 -0.55793757 1.40307131 -31.967468 80.390064
    Unten links KachelX 53896 KachelY + 1 13881 -0.55798551 1.40306331 -31.970215 80.389606
    Unten rechts KachelX + 1 53897 KachelY + 1 13881 -0.55793757 1.40306331 -31.967468 80.389606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40307131-1.40306331) × R
    8.000000000008e-06 × 6371000     		dl = 50.968000000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40307131-1.40306331) × R
    8.000000000008e-06 × 6371000     		dr = 50.968000000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55798551--0.55793757) × cos(1.40307131) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166939724403619 × 6371000     		do = 50.9876888613378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55798551--0.55793757) × cos(1.40306331) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166947612135101 × 6371000     		du = 50.9900979775629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40307131)-sin(1.40306331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166939724403619-0.166947612135101)×R²
    abs(-0.55793757--0.55798551)×7.88773148271971e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.88773148271971e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.88773148271971e-06×40589641000000     		ar = 2598.80191972563m²