Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53893 / 13882
↖ ↑ ↗
← N 80.389148°
W 31.978454°		 ← 50.98 m → N 80.389148°
W 31.975708°		 →
↑
51.03 m
↓
↑
51.03 m
↓
N 80.388689°
W 31.978454°		 ← 50.98 m →
2 602 m²		 N 80.388689°
W 31.975708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411174774169922 y=0.105915069580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411174774169922 × 217)
    floor (0.411174774169922 × 131072)
    floor (53893.5)     		tx = 53893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105915069580078 × 217)
    floor (0.105915069580078 × 131072)
    floor (13882.5)     		ty = 13882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53893 / 13882 ti = "17/53893/13882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53893/13882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53893 ÷ 217
    53893 ÷ 131072     		x = 0.411170959472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13882 ÷ 217
    13882 ÷ 131072     		y = 0.105911254882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411170959472656 × 2 - 1) × π
    -0.177658081054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.55812932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105911254882812 × 2 - 1) × π
    0.788177490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47613261297438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55812932} λ = -0.55812932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47613261297438))-π/2
    2×atan(11.8951721126106)-π/2
    2×1.4869258173039-π/2
    2.97385163460781-1.57079632675     		φ = 1.40305531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55812932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.978454°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40305531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.389148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53893 KachelY 13882 -0.55812932 1.40305531 -31.978454 80.389148
    Oben rechts KachelX + 1 53894 KachelY 13882 -0.55808139 1.40305531 -31.975708 80.389148
    Unten links KachelX 53893 KachelY + 1 13883 -0.55812932 1.40304730 -31.978454 80.388689
    Unten rechts KachelX + 1 53894 KachelY + 1 13883 -0.55808139 1.40304730 -31.975708 80.388689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40305531-1.40304730) × R
    8.00999999994723e-06 × 6371000     		dl = 51.0317099996638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40305531-1.40304730) × R
    8.00999999994723e-06 × 6371000     		dr = 51.0317099996638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55812932--0.55808139) × cos(1.40305531) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166955499855899 × 6371000     		do = 50.9818703556934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55812932--0.55808139) × cos(1.40304730) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166963397425643 × 6371000     		du = 50.9842819736224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40305531)-sin(1.40304730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166955499855899-0.166963397425643)×R²
    abs(-0.55808139--0.55812932)×7.89756974384215e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.89756974384215e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.89756974384215e-06×40589641000000     		ar = 2601.75355770673m²