Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53892 / 13881
↖ ↑ ↗
← N 80.389606°
W 31.981201°		 ← 50.99 m → N 80.389606°
W 31.978454°		 →
↑
50.97 m
↓
↑
50.97 m
↓
N 80.389148°
W 31.981201°		 ← 50.99 m →
2 599 m²		 N 80.389148°
W 31.978454°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411167144775391 y=0.105907440185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411167144775391 × 217)
    floor (0.411167144775391 × 131072)
    floor (53892.5)     		tx = 53892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105907440185547 × 217)
    floor (0.105907440185547 × 131072)
    floor (13881.5)     		ty = 13881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53892 / 13881 ti = "17/53892/13881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53892/13881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53892 ÷ 217
    53892 ÷ 131072     		x = 0.411163330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13881 ÷ 217
    13881 ÷ 131072     		y = 0.105903625488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411163330078125 × 2 - 1) × π
    -0.17767333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55817726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105903625488281 × 2 - 1) × π
    0.788192749023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.476180549874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55817726} λ = -0.55817726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.476180549874))-π/2
    2×atan(11.8957423439496)-π/2
    2×1.48692981887391-π/2
    2.97385963774782-1.57079632675     		φ = 1.40306331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55817726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.981201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40306331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.389606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53892 KachelY 13881 -0.55817726 1.40306331 -31.981201 80.389606
    Oben rechts KachelX + 1 53893 KachelY 13881 -0.55812932 1.40306331 -31.978454 80.389606
    Unten links KachelX 53892 KachelY + 1 13882 -0.55817726 1.40305531 -31.981201 80.389148
    Unten rechts KachelX + 1 53893 KachelY + 1 13882 -0.55812932 1.40305531 -31.978454 80.389148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40306331-1.40305531) × R
    8.000000000008e-06 × 6371000     		dl = 50.968000000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40306331-1.40305531) × R
    8.000000000008e-06 × 6371000     		dr = 50.968000000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55817726--0.55812932) × cos(1.40306331) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166947612135101 × 6371000     		do = 50.9900979775629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55817726--0.55812932) × cos(1.40305531) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166955499855899 × 6371000     		du = 50.9925070905245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40306331)-sin(1.40305531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166947612135101-0.166955499855899)×R²
    abs(-0.55812932--0.55817726)×7.88772079809985e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.88772079809985e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.88772079809985e-06×40589641000000     		ar = 2598.92470757152m²