Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53889 / 13442
↖ ↑ ↗
← N 80.588829°
W 31.989441°		 ← 49.94 m → N 80.588829°
W 31.986694°		 →
↑
49.95 m
↓
↑
49.95 m
↓
N 80.588379°
W 31.989441°		 ← 49.95 m →
2 495 m²		 N 80.588379°
W 31.986694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411144256591797 y=0.102558135986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411144256591797 × 217)
    floor (0.411144256591797 × 131072)
    floor (53889.5)     		tx = 53889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102558135986328 × 217)
    floor (0.102558135986328 × 131072)
    floor (13442.5)     		ty = 13442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53889 / 13442 ti = "17/53889/13442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53889/13442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53889 ÷ 217
    53889 ÷ 131072     		x = 0.411140441894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13442 ÷ 217
    13442 ÷ 131072     		y = 0.102554321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411140441894531 × 2 - 1) × π
    -0.177719116210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.55832107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102554321289062 × 2 - 1) × π
    0.794891357421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.49722484880721
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55832107} λ = -0.55832107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49722484880721))-π/2
    2×atan(12.148732566212)-π/2
    2×1.48866836415939-π/2
    2.97733672831877-1.57079632675     		φ = 1.40654040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55832107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.989441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40654040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.588829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53889 KachelY 13442 -0.55832107 1.40654040 -31.989441 80.588829
    Oben rechts KachelX + 1 53890 KachelY 13442 -0.55827313 1.40654040 -31.986694 80.588829
    Unten links KachelX 53889 KachelY + 1 13443 -0.55832107 1.40653256 -31.989441 80.588379
    Unten rechts KachelX + 1 53890 KachelY + 1 13443 -0.55827313 1.40653256 -31.986694 80.588379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40654040-1.40653256) × R
    7.83999999987017e-06 × 6371000     		dl = 49.9486399991729m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40654040-1.40653256) × R
    7.83999999987017e-06 × 6371000     		dr = 49.9486399991729m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55832107--0.55827313) × cos(1.40654040) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163518318122238 × 6371000     		do = 49.9427033160074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55832107--0.55827313) × cos(1.40653256) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163526052593149 × 6371000     		du = 49.9450656225088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40654040)-sin(1.40653256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163518318122238-0.163526052593149)×R²
    abs(-0.55827313--0.55832107)×7.73447091098611e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.73447091098611e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.73447091098611e-06×40589641000000     		ar = 2494.62910561586m²